C AB

menant AD et prolongeant

cette droite d’une quantité DE'=DB = i«, on obtiendra AE',

qui représente f en grandeur. D’ailleurs le segment égal à AE' et aboutissant au point A , est moindre que le segment aboutissant au point B; donc AK' doit être portée à la gauche du point A, de A en G'. Les deux segments soustractifs cherchés sont donc C'A et C'B.

38. Nous avons reconnu que 1a racine négative de l’équation (i), prise positivement, satisfait à un problème dont l’énoncé est analogue à celui du problème primitif ; de plus, nous avons construit l’inconnue de ce nouveau problème. Nous pouvons maintenant.

3ia GÉOMÉTRIE

pour aller plus loin , renfermer les énoncés des deux problèmes ci-dessus dans l’énoncé suivant ;

Partager une droite en deux segments, de manière que l’un d’eux soit moyen proportionnel entre la droite entière et l’autre segment. Cet énoncé n’exige plus, comme on voit, que le point de division cherché soit situé entre les extrémités de la droite donnée.

39. De même que nous avons réuni, dans un énoMé général, les questions auxquelles répondaient les racines positives des équations (i) et (2), nous pou-

'\ vons réunir, sur une même / figure, les constructions de

/ racines. Nous ob-

I y' fcuoiis ainsi C et C' pour les

c A c b’ deux points qui satisfont à

l’énoncé généralisé.

40. Remarquons maintenant que AC représentant la racine positive de l’équation (i), la racine négative de cette équation sera représentée par — AC'. De même, AC' représentant la racine positive de l’équation (2), — AC représentera la racine négative do cette dernière équation. Ainsi , à l’opjMsition de signes entre les racines d’une même équation , correspond encore ici une op/Msition de sens entre les distances qui représentent ces racines. Enfin, si, pour traduire algébriquement l’énoncé du problème général, nous avions supposé le point cherché placé à droite de A, l’existence d’une racine négative dans l’équation de ce problème aurait suffi pour nous avertir qu’indépendamment du point C satisfaisant à l’énoncé, un autre point C', situé à gauche du point A, y satisfait encore. De plus, la valeur absolue de cette racine négative est représentée par la distance C'A.

41 . Les remarques auxquelles vient de donner lieu la question très-simple du partage d’une di-oite en moyenne et extrême raison, se reproduisent dans la plupart des problèmes de Géométrie que l’on résout à l’aide de l’Algèbre; et, sauf un petit nombre de cas dans lesquels l’interprétation des. solutions négatives devient épineuse , parce que les problèmes auxquels correspondent ces solutions n’ont plus qu’une liaison éloignée avec la question primitive , il arrive que : 1" les racines négatives, ou plus généralement

ANALYTIQUE. 3i3

toutes les twines réelles de l'équation qui donne Vineonnuc (Vun problème, prises avec leurs valeurs absolues, représentent les inconnues (P autant de problèmes particuliers , ayant une certaine analogie avec le problème proposé , et pouvant, avec celui-ci, être réunis dans un énoncé général; 7.° si P on a pris pour inconnue une distance comptée sur une droite , h partir d'un point fixe, les valeurs négatives de cette inconnue doivent être portées dans un sens opposé h celui que Pon avait d'abord attribué à cette inconnue.

On doit bien obsener que ces deux propositions ne sont pas des théorèmes : seulement elles se vérifient presque continuellement. La seconde n’est que l’extension de ce qui a été dit plus haut

42. Au lieu de prendre AC pour inconnue , cherchons la distance

du point C à un point O tel, que AO = b.

A 0 — c B supposant que le point C tombe entre

O et B, représentons OC par x\ nous

aurons

[b-\-.ry=a[a — 6-f-x). (3)

Cette équation devient, étant développée,

x' — [ib a) X ->r b' ab — «’ =: o.

Lorsque le rapport ^ est moindre que ^{ — *+/5)) le trinôme lP-\-ab — a' est négatif, et l’équation (3) « une racine /»sitive et une racine négative; mais, si b est plus grand que

^ I -l- V^) , l’équation a deux racines négatives. Cette circonstance indique évidemment que le point C, au lieu d’ètre situé entre O et B, comme on l’avait supposé, se trouve entre les points A et O. Ainsi , il peut arriver que la valeur de l'inconnue d'un problème soit négative, et que cependant P énoncé n'c.vigc aucune moilification. Dans ce cas, la valeur négative indique seulement que, dans la mise en équation du problème, on a attribué à la distance inconnue un sens contraire à celui qu’elle a effectivement.