Admettons enfin que, par inadvertance, on ait supposé le

I point C à la droite du point B. En re-

* B c présentant par x la distance AC , on a

= «(x — rt),

d’où x = -(i±v^— 3).

On trouve donc pour l’inconnue x deux valeurs imaginaires , ce qui tient évidemment , non pas à une absurdité dans l’énoncé , mais à l’hypothèse fausse que l’on a faite. Ainsi , une valeur imaginaire, trouvée pour une inconnue, n’indique pas toujours que le problème proposé soit impossible.

45. Problème III. — Couper une sphère par un plan, de manière que les deux segments soient entre eux dans un rapport donné.

Soit R le rayon de la sphère donnée. Représentons par x la distance CD du centre au plan sécant; nous aurons, pour l’expression du volume du plus petit segment AEDE,

et pour celle du plus grand segment BEDF,

ANALYTIQUE. 3i5

Si donc m est le rapport du plus petit segment au plus grand , l’équation du problème sera

ou , en développant ,

Cette équation a ses trois racines réelles; car la condition 4/>’+ 27 <jr=< O 320) devient ici — <0;

ce qui est exact , m étant une fraction proprement dite.

L’équation (i) ayant ses trois racines réelles, et son premier membre présentant deux variations de signes , deux de ces racines sont positives et la troisième est négative. De plus , si l’on remplace successivement x par o et par R dans la fonction qui forme le premier membre , on trouve que cette fonction est positive pour x = O et négative pour x = R. Donc, des deux racines positives, l’une est plus petite et l’autre plus grande que R. Enfin, comme la somme des trois racines est nulle , la valeur absolue de la racine négative est supérieure à R.

46. Si l’on imagine que le plan EF , d’abord supposé tangent à la sphère, se rapproche du centre, on reconnaîtra que le problème proposé admet toujours une seule solution , à laquelle répond la plus petite racine positive de l’équation (i). Les deux autres racines de cette équation ne peuvent, en aucune manière , satisfaire au problème proposé. Il y a donc lieu de croire qu’elles résolvent un problème analogue à celui-là , mais relatif à un corps différent do la sphère.

Supposons, en effet, qu’après avoir décrit la circonférence ABEF, dans laquelle la perpendiculaire ED, abaissée d’un point de la courbe sur le diamètre , est moyenne proportionnelle entre les deux segments additifs AD, BD, on considère le lieu des points tels, que la perpendiculaire MP, abaissée de chacun d’eux sur le diamètre AB, soit moyenne pro-

3i6 GÉOMÉTRIE

portionnelle entre les deux segments soustractifs AP, BP de ce diamètre : ce lieu, qui se compose de deux parties ou branches séparées MBM', NAN', est appelé hyperbole.

Si la figure PAM, QBN tourne autour de l’axe PQ, elle engendre un hyperbolnïde de réwlution. Quoiciue ce corps ait une forme bien différente de celle de la sphère, il est évident, par la manière dont il est engendré, qu’il a de grandes analogies avec celle-ci.

Par exemple, si l’on considère, dans la sphère et dans l’hyperboloïde, deux segments EBF, MBM' ayant pour hauteur h,

le volume du premier peut être représenté par ^ { 3 R — A ) ,

et le volume du second par ^7rA’(3R + A) (*).

47. Cela posé, proposons-nous de couper l’hyperboloïdo par deux plans MM', NN', de manière que les deux segments MBM', NAN' soient entre eux dans le rapport m , et que leur somme soit équivalente à la sphère AB. x' et x” représentant les distances CP, CQ, les équations qui déterminent ces deux quantités seront, d’après les formules rapportées tout à l’heure.

Itt (,r' — R)’ (x'-|- 2R) m

f^R^ “ TT^î’

i7r(.r"-R)^(x"+2R) I , ^TtR^ ~ !-+-/«’

OU x'^-^R^x'y-ï- ^'r^=o, (2)

et x"^ - 3R’ x" - 2 R’ = O. ( 3 )

Or, ces deux dernières équations se changent dans l’équation (1), si l’on remplace x' par x et x" par — x. Donc les deux dernières racines de l’équation (i) déterminent les segments hyperboliques MBM' et NAN' (**).

(*) Voxee les Traités de Calcul intégral.

(**) Cette élégante interprétation des trois racines de l'équation (1) est due il M. Poinsot. (ÜEui'cei d’Archimède, traduction de Peyrard.)

EXERCICES

I. CouiHjr une splière par un plan, de manière que le segment obtenu ait, avec le secteur spliérique correspondant, un rapport donné.

II. D’un point pris sur la surface d’une sphère donnée, comme centre, décrire une surface sphérique telle, que le corps compris entre les deux surfaces ait un volume donné.

111. Dans un demi-cercle donné, inscrire un trapèze ABCD, do manière que ce trapèze , tournant autour du diamètre AB, engendre un corps ® ayant un volume donné.

IV. Inscrire dans un angle donné une droite de longueur donnée, de manière que le triangle résultant soit équivalent à un carré donné.

V. Construire un triangle, connaissant les longueurs des trois bissectrices intérieures.

VL Étant donné un point extérieur à un cercle donné , mener une sécante telle , que la somme des carrés des segments de cette droite soit équivalente à un carré donné.

VU. Inscrire , à un demi-cercle donné , un trapèze équivalent à un carré donné.

VIU. Inscrire, à un cercle donné, un triangle isocèle équivalent à un carré donné.

IX. Pourquoi les deux derniers problèmes dépendent-ils de la même équation?