THÉORIE DES COORDONNÉES

Préliminairet. ^

48. En général , la position d’un point sur un plan est déterminée par l’intersection de deux lignes talles, que tous les points de la première satisfont à une première condition, tandis que tous les points de la seconde satisfont à une autre condition.

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3i8 GÉOMÉTRIE

Par exemple, pour construire un triangle, connaissant ses trois

côtés a, b, c ; après avoir pris une droite AB = c, on décrit, des points A et B comme centres, avec ô et (7 pour rayons, des circonférences se coupant en C et G':

tous les points de la première circonférence sont à la distance b du point A , tous les points de la seconde sont à la distance c du point B, et il est clair que les sommets C, C' des deux triangles satisfaisant à la question, sont déterminés de position.

49. Lorsque tous les points d’une ligne satisfont ainsi à une même condition , on dit que cette ligne est le lieu génniètrique de ces points. Ainsi, la circonférence CDC' est le lieu géométrique des points dont la distance au point A est égale à ô; etc.

50. Si l’on désigne par u et c les distances d’un point quelconque aux points fixes ou jiôlcs A et B, le point C sera déterminé si l’on donne les valeurs de u et de c relatives à ce point , c’est-à-dire si l’on écrit ii = a, i> = b. Ainsi, un point peut être représenté algébriquement par l’ensemble de deux équations. Do plus, chacune do ces équations représente un lieu géométrique; car l’équation « = a appartient à tous les points de la circonférence CDC'.

Enfin , quels que soient les lieux géométriques dont on fasse usage pour fixer la position d’un point, on appelle coordonnées de ce point les quantités qui déterminent les deux lieux ; dans l’exemple précédent, a et é sont les coordonnées du point C (*).

Coordonnée* reoUli^es.

5i. Les lieux géométriques les plus simples, propres à déterminer la position d’un point M, sont deux droites BM, AM parallèles à deux axes fixes Ose, Or, se coupant en un point O. En effet, étant données les distances a, b du point inconnu aux deux axes (la distance à chaque axe étant comptée parallèlement à l’au-

(*) On peut aller plus 18in, et, ainsi que l’ont proposé MM. Sonnet et Frontera, dési{];ner sous le nom de coordonnées, des grondeurs varinhlcs propres à déterminer ta position d'un point.

ANALYTIQUE. 5i9

trc axe), il suffit de prendre OA = «, OB = h, et do tracer AA', BB' ; ces droites se coupent en un seul point M qui est le point cherché.

Los disUmces a, b, coordonnées rectilif(/,cs du point M, sont désignées, respectivement, sous les noms dV///vc/.v.vf et d'ordonnée de ce point. Les doux droites Ox et 0/ sont les axes de coordonnées.

Équations d’un point.

52. Si l’on convient de représenter généralement par x et y ! l’abscisse et l’ordonnée d’un point quelconque, le point particulier M sera représenté par le système des équations

On doit encore remarquer ici que chacune de ces équations représente l’un des deux lieux géométriques dont l’intersection donne le point M. En effet, l’équation x~ a représente une parallèle à l’axe Or; y=b représente de même une parallèle à l’a-xe 0 x.

Coordonnées polaires.

53. D’après la définition donnée ci-dessus (50), il y a autant de systèmes de coordonnées que de moyens de déterminer un point par l’intersection de deux lieux géométriques.

Le système dont nous venons de parler en dernier lieu est le système rectiligne; l’autre était le système bipolaire.

.54. Soit une droite fixe Ox passant par un point fixe ou pôle O.

Un point quelconque pourra être déterminé par l’intersection d’une droite menée du pôle et d’une circonférence ayant ce pôle pour centre.

Cette manière de déterminer la position d’un point constitue un système de coordonnées polaires: OM est le rayon vecteur; et l’angle MOx, qui détermine la direction de ce rayon, est

V amplitude.

Si l’on désigne par w et u les coordonnées polaires d’un point quelconque, le j)oint ixirticulier M sera déterminé i>ar les équa-

lions

qui représentent, respectivement, une droite et une circonférence.

Xiieu d’on« équation.

5S. Une équation à deux variables peut toufours être représentée géométriquement par une ligne.

Soit y = f[x) l’équation donnée; supposons que, les coordonnées étant rectilignes, ox et oj- soient

les axes. Si l’on prend x = « , on obtiendra une valeur correspondante r = b.

Ces équations représentent un point M qui aurait pour abscisse rt, et pour ordonnée b. En donnant à x une autre valeur rt', on trouvera une nouvelle valeur b' de >■; et les équations

représenteront un autre point M'. Ainsi de suite.

Maintenant si, au lieu de donner à x des valeurs isolées, on suppose que cette quantité varie d’une manière continue, il en sera de môme pour /, du moins entre certaines limites. Nous obtiendrons donc, en général, une ligne telle, que les coordonnées de chacun de ces points vérifieront l’équation y = f[^x).

S6. Nous disons, en général. Il peut arriver, en effet, ou qu’une équation ^ = /(x) ne soit vérifiée par aucun système de valeurs réelles de x et de y, ou que , x variant d’une manière continue , y ne suive pas la loi de continuité. Dans le premier cas, l'équation ne représente aucun lieu géométrique ; dans le second, le lieu de l’équation est un système de points, lesquels peuvent être en nombre infini. On a un exemple de cette dernière circonstance quand on prend l’équation j = ( — «)^, a étant une quantité positive. Pour avoir un lieu imaginaire , il suffit de considérer l’équation très-simple

1)7. En laissant de coté les exceptions dont il vient d’clre question, nous pouvons tirer, de ce qui précède, les conclusions sui-

ANALYTIQUE. 3ii

vantes : i” un lieu géomctrùiiie peut être représenté par une équation; i° réciproquement, une équation entre deux variables jseut être représentée géométriquement par une ligne.

S8. Selon que l’on emploie tel ou tel système de coordonnées, une même équation peut représenter des lignes très-différentes.

Ainsi, dans le système rectiligne, x-\-y= a représente une droite; et, dans le système bipolaire, « + e = « représente une courbe appelée ellipse.

Réciproquement , une même ligne pourra être représentée par des équations très-différentes, suivant que l’on emploiera tel ou tel système de réordonnées.

Signes des coordonnées.

59. Si deux points M, M' ont {wur ordonnée 6, et qu’ils soient

situfe de part et d’autre de l’axe 0^>, et à la même distance a de cet axe, on les distinguera l’un de l’autre par les signes de leurs abscisses. On est convenu de regarder l’abscisse d’un point comme positive ou comme négative, suivant que ce point est à droite ou à gauche de l’axe des ordonnées.

De môme, l’ordonnée d’un point est positive ou négative, selon que ce point est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses. D’après cela, les points M, M', M*, M” auront pour équations, respectivement.

\ a- = — rt,

Des conventions analogues pourraient être adoptées pour les différents systènv's de coordonnées.

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