RECHERCHE DES ÉQUATIONS DE QUELQUES LIEUX GÉOMÉTRIQUES

liigne droite.

60. Nous savons déjà que les équations x — a, y = b représentent, respectivement, une parallèle à l’axe des ordonnées et une parallèle à l’axe des abscisses; considérons donc une droite ABC, oblique à deux axes rectilignes quelconques 0.r, Oj; désignons par X, y les coordonnées d’un point M, pris arbitrairement sur cette droite , et cherchons la relation qui existe entre x et y.

Si, par l’origine O, nous menons OC' parallèle à ABC, nous aurons

PM = J = PM'-i- MM' = PM' + OB.

Or, dans le triangle OM'P,

PM' sin PO.M' sin g OP ~ sin OM' P ~ sin x' ’

a et a' étant les angles formés par OC avec les parties jjositii'cs

(les (leux axes. Le rapport est une constante a: donc

sin X

PM' = fl. OP = (IX ;

et, b désignant OB,

y=ax->rb. (i)

Telle est l'équation cherchée.

61. lie/aa/rjites. — I. üae droite, rapportée, à des coordonnées rectilignes , est représentée par une écpiution du premier degré. II. Les constantes a, b, qui déterminent la position de la droite.

ANALYTIQUE. 3a3

sont appelées: l’une, coefficient angulaire; l’autre, ordonnée à V origine.

III. Nous avons obtenu l’équation (i) en prenant un point M ayant ses deux coordonnées positives; mais il est aisé de vérifier: i“ que cette équation appartient à tous les points de la droite;

que l’on arriverait encore à une relation ayant la forme (i) si la droite n’avait aucun point dans l’angle des coordonnées positives.

Ellipse.

62. L’ellipse est une courbe telle , cpie la somme des distances (le chacun de ses points h deux ijoints fixes ou foyers F, F', est constante.

De cette définition résulte immédiatement l’équation en coordonnées bipolaires;

u-\-v—ia, (i)

que l’on peut appeler équation naturelle de l’ellipse.

Pour avoir l’équation en coordonnées rectilignes, nous prendrons F' F pour axe des abscisses, et la perpendiculaire au milieu de cette droite pour axe des ordonnées.

Il est visible que ces deux axes de coordonnées sont deux axes de sj-métric de la courbe, et que , de leur emploi, pourront résulter des simplifications dans l’équation cherchée.

M étant un point quelconque du lieu, soient OP = x, PM = y les coordonnées rectangulaires de ce point {*), et soit FF'= ic la distance focale. Nous aurons, dans les triangles rectangles F PM, FPM:

F'M = -l- V^FpV™ , FM = + PM’ (**),

(*) Si le point M était pris à gauche de Oy, on aurait Of = — x, mais on trouverait encore l’équation (a). De même si le point M avait toute autre position.

(’*“) Ordinairement, la distance entre deux points non situés sur une droite fixe est représentée uniquement par sa mesure, c’est-à-dire par une quantité positive.

ou w = -4- ^/(r -h xY + I' = + y\c — xf 4- La substitution de ces valeurs dans l’équatiOn (i) donne + \/(c-\-xY+ y + \/{c— xf+ y = irr, d’où, par des simplifications successives,

(c 4-.rf = 4«/(c — .rf 4- (r — xf,

fi^(c — x)* 4- = <■/’ — ex,

rt’ r’ 4- {«’ — c‘ }.r’ = a* («* — c*) ; (a)

ou enfin , parce que la constante a a doit être plus grande que a c,

Hyperbole.

63. L’hrperbole est une eoiirbe telle, que la diÿ'ércnce des dis~ tances de chacun de. ses points à deux points fixes est une constante.

Un calcul semblable au précédent donne, en posant a’— c*= — f»* (parce que l’on doit avoir a« < ac),

(•) Pour éliminer b et i< entre les équations K -h »> =i aa, (i)

on peut conclure d’abord, des deux dernières,

u*-hK*= 2(c*-t-a’-h^*), (6) («-h>>)(n — e) = 4‘^^> (?)

puis, des équations (i) et (7),

ex ex

Ces valeurs, sur lesquelles nous reviendrons plus tard , donnent , par la substitution dans l’équation (6),

OM — c*)jr’=n’(n* — c’);

cuinmc ci-dessus.

Parabole.

6i. L(t parabole est une courbe telle, que chacun de ses points est également distant d’un jwint fixe F et d’une droite fioce AB.

En représentant par u le rayon vecteur FM et par p la perpendiculaire MQ, on a , pour étpiation naturelle de la parabole,

Cette équation permettrait de construire la ^ ^ courbe par points, au moyen de parallèles à

la directrice AB et de circonférences ayant pour centre le foyer F. Mais ici , comme dans les exemples précédents et dans ceux qui suivent, nous nous proposons de remplacer les coordonnées naturelles par des coordonnées rectilignes: en d’autres termes, nous voulons effectuer une transformation de coordonnées.

Prenons donc , pour axe des abscisses , la perpendiculaire FE à AB, et pour origine le milieu O de EF; nous aurons

p = MC = EO -1- OP = a -H X , u = (k — x)’ ; d’où y* = 4 ax.

Ciisolde.

65. Par l’extrémité A du diamètre AB, on mène une transversale quelconque ADC qui rencontre en C la tangente TT' au point B. On prend AM = CD. Le lieu du point M est une courbe appelée cissoïde de Diodes.

Prenons le point A pour origine, AB pour axe des x; abaissons DE perpendiculaire sur AB et observons que AM = CD donne AP= BE. Nous aurons, àcause des triangles semblables AMP, ADE,