DE ~AE

puis, en représentant par a le rayon du cercle,

DE = v^AE.BE = v/(2fl — x).x ;

donc

y/( a « — X ) JC *

OU, en supprimant le facteur ^ -la — x, qui, égalé à zéro, représenterait la tangente TT',

A l’inspection de cette valeur dej on conclut : i" que AB est un axe de symétrie ; a° que la courbe est comprise tout entière entre jj' et TT'; 3° qu’elle passe à l’origine A; 4° qu’elle s’approche indéfiniment de TT' sans jamais l’atteindre. Toutes ces conséquences, qui résultaient aussi de la définition de la courbe, lui assignent la forme indiquée ci-contre.

66. Nous avons supprimé, comme solution étrangère, l’équation art — x = o. Il est facile de voir à quoi tient la présence de cette solution. En effet , la transversale AC coupe la circonférence AB , non-seulement au point D , mais encore à l’origine A. Si donc on porte , à partir de A , le segment CA , on obtiendra le point C , dont le lieu géométrique est évidemment TT'.

Conobolde.

67. D’un point fixe F on mène une transversale quelconque FC,

sur laquelle on prend, à partir d’une droite fixe AB, CM = CM'= b. Le lieu des points M ou M' est une courbe appelée conchoïde de Nicomède.

En prenant pour origine le point F et pour axe des abscisses FD perpendiculaire à AB, et en représentant par a la distance FD, on trouve, au moyen des triangles semblables MFP, MCE ,

ANALYTIQUE. Sa;

Suivant que b est inférieur, égal ou supérieur à « , la courbe a l’une des trois formes suivantes :

Ellipse de Casttni.

68. Cette courbe est le lieu des points tels, que le rectangle des distances de chacun d’eux à doux points fixes F, F', est équivalent à un carré donné »i’.

L’équation naturelle est

uv = /n* (*).

Pour trouver l’équation en coordonnées rectilignes , choisissons les axes comme dans le n° 62; nous aurons

puis [j*+(c-t-x)’] [y4-(c —

ou, en développant et ordonnant par rapport àr,

CJycloIde.

69. Lorsqu’un cercle O roide^ sans glisser, sur une droite fixe AB, un point quelconque M de sa circonférence engendre une courbe appelée cycloïde.

{*) Cette équation peut servir à construire la courbe par points. (**) Si m = c , la courbe devient la lemniscate de Bernoulli.

Soit C le point où la circonférence mobile , dans une de ses positions, touche la droite fixe AB. Si nous portons, à partir de

ce point C, CA égal à l’arc CM rectifié, A sera la position initiale du point décrivant M.

Prenons AB pour axe des abscisses et la per- * ® B Æ pendiculaire Aj pour

axe des ordonnées; représentons par R le rayon du cercle et par a la mesure de l’angle variable MOC. Nous aurons , en menant l’ordonnée MP et la parallèle OG à AB ,

a: = AP = AC — OG = R a — R sin a ,

J- = MP = PG+ MG = R -R cosa (*)•

Cette seconde équation donne

cosa = > sina = ± i V/2R7 — y (**),

« = arc COS

En substituant ces .deux dernières valeurs dans la première équation , nous obtiendrons

x = Rare cos — - — ./~n i***\ ir\

q=V^2Rj -/•(***). (i)