Troisième exemple. x

Cherchons d’abord quelles sont les valeurs que l’on peut attribuer à X.

Pour que J soit réelle, il faut que le soit, ou que la fraction

•as-

soit positive.

Si l’on égale à zéro le numérateur de cette fraction , on trouve que l’équation x’-i-2x-i-a = o a des racines imaginaires; donc le trinôme x’ -4- 2 X -1-2 est essentiellement positif, et la fraction est positive ou négative en même temps que x. La courbe n’aura donc aucun point à gauche de l’axe des y.

Si nous prenons le radical positivement, y sera réelle, quelle que soit la valeur positive attribuée à x. Ainsi, une partie du lieu s’étendra indéfiniment à droite de Or.

Mais si nous prenons le radical négativement, nous devrons sa-

îiV *

jff ^

tisfaire à l’inégalité

Élevons au carré et multiplions de part et d’autre par la quantité positive x\ nous aurons

sê — X^ — IX — 2>o.

Le premier membre s’annule pour une certaine valeur a com-

prise entre 2,2 et 2,3 (*). Donc ce premier membre sera positif pour T> a. Conséquemment, si, après avoir adopté une certaine échelle, nous prenons, sur l’axe des abscisses, OA proportionnelle à a, et que par le point A nous menions BAB' parallèle à Oj, la seconde partie de la courbe s’étendra indéfiniment à la droite de BAB'.

Maintenant, faisons croître x indéfiniment, à partir de zéro, dans la formule

i". Pour des valeurs très-petites de x, la fraction

xi^+ %X -f- 2

est très-grande , et lorsque x converge vers zéro , cette fraction croît de manière à dépasser toute limite. Ceci indique évidemment que la courbe s’approche indéfiniment de Paxe O/, sans jamais V atteindre. On dit , pour cette raison , que O j est une asymptote de la courbe.

2°. x=i donne y‘=i+^, ou / = ±i,8.

3°. X = 7. donne = 2 -4- ^5, ou j = ± 2,0.

Sans qu’il soit nécessaire d’aller plus loin, on voit que l’arc DEFG, après s’être rapproché de l’axe des abscisses, s’en éloigne indéQniment, en même temps qu’il s’éloigne de l’axe des ordonnées. D’ailleurs, les valeurs de y sont , deux à deux, égales et de signes contraires; donc, à l’arc DEFG correspond un autre arc D'E'F'G' symétrique du premier, si les axes sont rectangulaires. Dans tous les cas, l’axe des abscisses partage en deux parties égales toutes les cordes parallèles h l’axe des ordonnées , c’est-à-dire que Ox est un diamètre de la courbe.

La formule y’ = x

donne j = o pourx=a.

Ainsi, la courbe coupe l’axe dos j au point A. A partir de cotte valeur a do x , y augmente indéfiniment avec x. En effet, la fonc-

(*) Autrement dit, la seule racine positive de l’équation

est comprise entre ces deux limites.

lion

est du decré - : elle tend donc à devenir

nulle par rapport au terme x, qui est du degré i {*).

D’après cette remarque , la dernière partie de la courbe est une branche LAL', ayant à peu près la forme indiquée sur la figure.