Quatrième exemple. y‘ = x

On voit d’abord que l’on ne peut supposer x < — 5, nix> — i

et < Donc , il n’y aura aucun point de la courbe situé à la

gauche de AA', et il n’y en aura aucun non plus entre les droites BB' et CC'.

Dans la formule f

t nous pourrons

attribuer à x une valeur arbitraire plus

grande que ^ ; et comme ^ donne - 7 = ± =•= il y a une

“T partie DE de la courbe qui part du "ir point D, déterminé par CD = o,63, et qui s’étend indéfiniment dans l’angle C'Cx.

Afin de savoir si nous pouvons supposer x négatif, changeons X en — x', et posons l’inégalité

A cause de x' < 5, elle se réduit à

ou encore, à (x'+ i)’(x'— 2) > o.

(*) En général , soit une fraction * —

Kx”

dans laquelle les

deux termes sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de x (entières ou fractionnaires, positive» ou négatives). La valeur de cette

fraction , pour a: = 00 , est o , —, ou 00 , suivant que l’on a A < A', A = A', ou A > A'.

' Le premier membre est positif à partir de x' = 2 ; donc un nouvel arc FG part du point F, situé sur le prolongement de O a;, à la distance 2 de l’origine , et s’approche indéfiniment de la droite AA', qui en est l’asymptote.

La formule

J qui exige que x soit

positif, donne, par le calcul précédent,

ou (x— l)’(x-|-2) > O.

Cette inégalité est vérifiée par toutes les valeurs positives de x,

mais son premier membre s’annule pour x — i. D’ailleurs, x = -

donne, comme ci-dessus

résulte de là que l’arc ED

est continué par un autre arc DIH coupant ( * ) en I Taxe des abscisses. Ces deux arcs composent une branche EDH , à laquelle répond une autre branche E'D'H' symétrique de la première par rapport à Ox.

Enfin , la courbe est complétée par l’arc FG', symétrique de FG.

. 78. Cinquième exemple, =

En opérant absolument comme dans les deux exemples précédents, on trouve que le lieu géométrique représenté par cette nouvelle équation se compose :

1°. D’une courbe en cœur DED'F coupant l’axe des abscisses en deux points E, F; 2° d’une branche indéfinie GHIH'G', qui rencontre cet axe en un point I et qui a pour asymptote une parallèle BB' à l’axe Oj (**).

(*) La circonstance remarquable qui se présente ici exigerait, pour être complètement évidente, la théorie des tangentes.

{**) Les trois derniers exemples appartiennent à la famille des courbes

ANALYTIQUE. 33y

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