THÉORIE DES PROJECTIONS

79. Lehme I. — La somme des segments AB, BC, . . . , MN, NA, déterminés sur une droite xy par des points A, B, C,..., M, N, disposés comme Von voudra sur cette droite, est égale à zéro (**).

Pour que cet énoncé ait un sens , certains segments doivent être regardés comme positifs , les autres étant supposés négatifs. La convention habituelle consiste , nous l’avons dit bien des fois , à donner le signe + aux segments dirigés de gauche à droite, et le signe — aux segments dirigés de droite à gauche.

Cela posé , il est d’abord facile de vérifier la proposition dans le cas où les points sont au nombre de trois.

En effet, les points A, B, C peuvent occuper, sur xy, les six positions relatives indiquées ci-contre (***), et donnant lieu , entre les segments positifs, aux six équations suivantes :

AC = AB + BC, AB = AC -i- CB, BC = BA + AC, BA = BC-hCA, CB = CA + AB, CA=CB + BA.

(*) Cette courbe est le lieu des projections d’un point appartenant à la bissectrice d’un angle droit, sur une droite qui glisse entre les côtés de l’angle.

Cette proposition est tirée du Traité de Géométrie supérieure , par M. Chasles.

C*"’*) Par la considération des permutations tournantes, on pourrait réduire ces six cas à deux.

ANALYTIQUE. 33g

Mais, d’après la convention établie,

AC = -CA, CB = -BC, BA=-AB; donc nos six relations se réduisent à