AB + BC 4- . . . 4- LM + MA = O

Si nous introduisons le (« 4- point N, nous aurons, entre les segments déterminés par A, M, N, 1a relation

AM + MN 4- NA = o.

Ajoutant membre à membre , nous trouverons , à cause de MA = - AM,

AB 4- BC + . . . + LM 4- MN 4- NA = O (*). c. Q. P. D.

80. Lemhe n. — La projection d'une droite finie, sur un ave quelconque , est égale au produit de la droite par le cosinus de l'angle qié elle fait avec l'axe.

Par les extrémités A, B de la droite donnée, menons deux plans P, 0 perpendiculaires à l’axe xy.

Soient A', B' les points où cet axe perce les deux plans : les droites AA', BB' seront perpendiculaires à xy, et A' B' sera la projection de AB.

Par le point A , menons une parallèle AC à xy, et joignons le point C, où elle perce le plan Q, aux points B, B', par les droites CB, CB'.

Les droites A' B', AC sont égales, comme parallèles comprises

(*) Peut-être pourrait-on admettre, sans démonstration, ce lemme fondamental. En effet, l'équation ci-dessus pourrait être énoncée en ces termes : Quand un mobile se meut sur une droite, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, de manière à revenir au point de départ ^ la somme des espaces parcourus dans un sens égale la somme des espaces parcourus dans le sens opposé ; ce qui parait assez évident.

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34o GÉOMÉTRIE

entre plans parallèles ; de plus , le triangle ACB est rectangle en C ; donc

A'B'= AC = ABcosBAC.