GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES

92. On partage les courbes en courhet algébriques et en courbes transcendantes : une ligne appartient à la première classe ou à la seconde, suivant que son équation, en coordonnées rectilignes , est algébrique ou transcendante [^Ig., 142, 143).

93. On distingue les courbes algébriques par le degré de leurs équations : la ligne droite est une ligne du premier ordre, son équation étant du premier degré; Vcllipse ^ la parabole , V hyperbole, le cercle sont des courbes du deuxième ordre.

Cette classification n’aurait pas de sens si , par un changement d’axes, on pouvait altérer le degré de l’é.quation d’une courbe. C’est ce qui n’a pas lieu. Nous allons, en effet, démontrer la proposition suivante :

94. Théorème. — Un changement de coordonnées rectilignes ne change pas le degré de l’équation d’une ligne algébrique.

Soit, après la disparition des radicaux et des dénominateurs,

l’équation de la courbe : la plus grande valeur de 4- 7 est le degré m de cette équation. Cela posé, les formules de transformation ayant la forme

X = a-\- bx' 4- cy\

le terme kaé’y'’ devient

k[a->rbx'->rcy'y[a'ri-b'x'-ir c'y'Y;

et il est évident que le degré de ce produit no surpasse pas donc il ne surpasse pas m. Autrement dit, le degré de l'équation ne pourra pas s’élever.

Je dis maintenant qu’»7 ne pourra pas non plus s'abaisser; car si l’équation entre x' et y' jtouvait être de degré {m — n), en

partant de cette équation et faisant la transformation inverse de la première, on passerait du degré m — n au degré /w; ce qui est impossible, d’après la première partie de la démonstration.

95. Une équation de degré m peut représenter des lieux géométriques (P ordres inférieurs à m.

Soit /(x,j) = A.B.C = o. L'équation f(x, y) = o sera vérifiée par A = o, B=o, C = o, équations qui sont de degrés moindres que m. Par exemple , l’équation du second degré

(x — r— i)(j^-l-j) = o est vérifiée par x — y — i = o, x-i-j = o.

On a donc deux lignes droites , au lieu d’avoir une courbe du second ordre.

Réciproquement , si A = o,B = o,C = o sont les équations de plusieurs lignes , on pourra les remplacer par la seule équation A.B.C = o (*).