CHAPITRE XL

CLASSIFICAnON DES LIGNES DU SECOND ORDRE.

117. Nous allons examiner quels sont les lieux géométriefues représentés par l’équation générale du second degré, à deux variables :

Aj^-t-B^j-i-Cjr’-l-Dj-l-Ex-t-F = O. (i)

Si A n’est pas nul , nous aurons , en résolvant par rapport à ou

y = - /{B’- 4 AC) x’-t- 2 (BD - 2AE)o:+ D’- 4 AF;

ou bien , en posant

B’-4AC = «, BD-2AE=/^, D’-4AF = 7, y — ax h \/nx'‘ + 2 px -h 7 . ( 2 )

ANALYTIQUE. 35y

Commençons par construire la droite dont l’équation est y = ax -h 6.

Cette droite AB étant construite, il suffira d’augmenter et de diminuer l’ordonnée de chacun de ses points, d’une longueur proportionnelle à la valeur du radical.

11 résulte, de cette observation, que la droite^’AB partage en deux parties égales toutes les cordes telles que MM', parallèles à l’axe des j : pour cette raison, on la désigne sous le nom de diamètre.

H8. Suivant que le coefficient n sera négatif, positif ou nul, le lieu géométrique représenté par l’équation (i) aura des formes trèsdifférentes. En effet , pour des valeurs de x positives ou négatives suffisamment grandes, le trinôme placé sous le radical prendra le signe de son premier terme 262). Si donc n est positif,

les valeurs de y, répondant à de très-grandes valeurs de x , seront réelles , et le lieu sera illimité. Si , au contraire , n est négatif, les valeurs de x ne pourront pas croître au delà de toute limite, car le radical deviendrait imaginaire , etc. On a donc trois cas à distinguer :

ou

ou

B’ - 4AC<o; B’ — 4AC> o;

H 9. Premier cas : B’

ou B’- 4AC < O,