AC = O

Représentons par Y la fonction ^ \/nx^ -1- 2/?x + ^ Y sera

ce qu’on appelle Vordonnée comptée à partir du diamètre. En même temps, remplaçons n par — 4’ ; nous aurons

td

Afin de savoir s’il existe des valeurs réelles de x qui rendent Y réelle, posons

Les racines x\ x” de cette équation peuvent être réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires.

1°. Les racines x\ x" étant réelles et inégales, soit x' la plus

petite : le trinôme x‘ x — ^ pourra être mis sous la forme

(x — x') [x — x^), et nous aurons

en sorte que les valeurs de x doivent être comprises entre x' et x".

Si l’on prend donc OD = x', OE = x", et que l'on mène DD' et EE' parallèles à O j, le lieu géométrique sera compris entre ces

deux parallèles : il rencontre le diamètre AB aux points D', E'. 11 est continu , car à toute valeur de x comprise entre x' et x” correspondent deux valeurs réelles de j. De plus, ces valeurs sont finies : la courbe est donc limitée de toute part. Enfin , comme elle est convexe (99), elle a sensiblement la forme indiquée ci-contre. Cette courbe

est l’ellipse.

2®. Si les racines x' et x” sont réelles et égales, on a

cette quantité est imaginaire pour toutes les valeurs de x, excepté pour X = x\ auquel cas Y = o. Le lieu se réduit donc à un point ayant pour coordonnées x = x\ y = ax' 4- b. Cette variété de l’ellipse se présentera quand les racines de l’équation

nx^ + 2 px q z= O

seront égales ; c’est-à-dire quand on aura

(BD-2AE)’=(B’-4AC) (D’- 4AF), avec B’-4AC<o.

3®. Si les racines x' et x” sont imaginaires , le trinôme

A.r’ 7. pk -\- q

est négatif quel que soit x; par conséquent, les valeurs de r sont

ANALYTIQUE. 35g

constamment imaginaires. Ainsi, dans ce cas, l’équation du second degré ne représente aucun lieu géométrique.