Deuxième cas : B’ — 4 AC > o

Le coefficient n étant positif, remplaçons-le par -|- :

Posons, comme précédemment.

et nous aurons encore trois cas à distinguer.

i“. Les racines x\ x" étant réelles et inégales, soit x' la plus petite ;

Prenons encore OD = x\ OE = x"; menons DD', EE' parallèles

à Oj : ces deux droites seront deux limites de la courbe. La variable x croissant indéfiniment à partir de x", Y croît aussi indéfiniment. La courbe a donc une première branche située à la droite de EE', qui s’étend vers les abscisses positives et qui , après avoir coupé en E' le diamètre AB , s’en éloigne indéfiniment.

Si l’on fait x < x', chacun des facteurs {x — x'), (x — x") est négatif; leur produit est positif; et comme chacun d’eux augmente avec X, Y croîtra depuis zéro jusqu’à l’infini. On aura donc, à la gauche de DD', une autre branche infinie. D’ailleurs, la courbe est convexe; donc, elle a la forme représentée ci-contre. On lui donne le nom à' hyperbole.

%°. Les racines x\ x” étant égales, Y = ± — (x — x'),

puis y — ax -\-b ± ^ (x — x').

Le lieu se compose donc de deux droites dont les équations sépa-

3ÜO GÉOMÉTRIE

rées sont

y = a.T b -\ T ~ y = ax -\-b — x').

Ces droites se coupent en un même point du diamètre, car si l’on fait X = x\ les deux valeurs de j deviennent égales à ax + b, ainsi le système de deux droites concourantes est une variété de l’hyperbole. L’équation (i) représente cette variété lorsque

(BD- aAE)’= (B’- 4AC) (D’-4AF), avec B*-4AC>o.

3®. Si l’équation 4- ^ j: 4- -^ = o a ses racines imaginaires, son premier membre est la somme de deux carrés , en sorte que

valeur essentiellement réelle, quel que soit x. Le lieu géométrique ne rencontre donc pas son diamètre. En outre, la plus petite valeur de Y correspond à x = a.

Conséquemment , si l’on mène des parallèles au diamètre AC par les points H, H' déterminés par x= a, les deux branches de la courbe seront , l’une au-dessus de HG, l’autre au-dessous de H' G'.

Cette courbe , ainsi qu’on pourrait le reconnaître en résolvant l’équation (i) par rapport à x, est encore une hyperbole.

421. Troisième cas: B’— 4AC = o. La valeur générale de y se réduit à

y=ax-{-b± — \/'ipx-\-q, et l’ordonnée, comptée à partir du diamètre, devient Y = ^ 4- q.

On peut faire trois hypothèses relativement à p\ /> > o, /> < o, P = o.

ANALYTIQUE. 36i

i“. /> > O. Soit x' la racine de l’équation 2 px + q = o: on aura

Y = ±-^^/-tp[x - x').

On ne pourra donner à.r que des valeurs supérieures à x'-, par conséquent, si l’on prend OD = x\ et que l’on mène DD' parallèle

à O/, la courbe n’aura aucun point à la yi / y gauche de cette parallèle. D’ailleurs, X = x' donne Y = o , et Y croit indéfiniment avec x\ donc la courbe, qui coupe son diamètre au point D', s’étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de cette droite, du côté des abscisses positives. Elle porte le nom de parabole.

2°. /> < O. La forme du lieu géométrique est la même que dans le cas de p positif; la position seule est changée. Ce lieu est une parabole qui s’étend à la gauche de DD'.

H y a encore trois cas à distinguer : <7>o, <7 = 0, 7<o.

q étant > o , v/7 sera réelle , Y sera réelle , mais égale à une constante. On obtiendra le lieu géométrique en portant, au-dessus et au-dessous du diamètre, une longueur constante. Ce lieu est donc composé de deux drûites parallèles.

Si 7 = O, / = flx-f- 6. La parabole se réduit à son diamètre, ou plutôt les deux parallèles se sont rapprochées et ont fini par se confondre en une seule droite.

q étant < O , Y et r sont imaginaires ; l’équation proposée ne représente aucun lieu géométrique.

122. Nous avons supposé, dans l’équation (i), A différent de zéro. Si A = O, l’équation, du premier degré par rapport à 7, donne

o. L’équation se réduit ^ y = ax -\-b± \fq.

2 iV

Ca;’ -f- Ex -1- F Bx + D

Si B = o, on a, pour valeur de j, un polynôme du second degré en X. L’équation représente alors une parabole , car B’— 4 AC = o.

(*) On pourrait résoudre par rapport à x; mais la même (fiiliculté se représenterait si C était nul.