DX -|- U

En admettant , pour fi.ver les idées, que R et B soient positifs et que D soit négatif, posons B.r -I- D = O , et appelons x' la racine de cette équation, racine qui sera positive ; nous aurons

Si maintenant nous faisons croître indéfiniment x à partir de x', Y diminuera de plus en plus et tendra vers zéro ; donc l’arc HFG se rapproche indéfiniment de la droite BA sans jamais l’atteindre ; cette droite BA est une asymptote. Si X surpasse très-peu x', Y sera très-grande ; enfin , pour X = x', Y = 00 : la droite DE, représentée par x = x', est donc une seconde asymptote de la courbe.

Si nous donnons à x des valeurs plus petites que x, l’ordonnée Y devient négative, et nous obtenons une nouvelle branche H' G' F', ayant encore pour asymptote les deux droites BC , DE.

La courbe représentée par l’équation (a) a donc les caractères

de l’hyperbole ; de plus , à cause de A = o et de B ^ o , la condition B’ — 4 AC > O est satisfaite.

124. Remarques. — I. Si la courbe est une parabole, les trois termes du second degré forment un carré ; car B' — 4 AC = o , ou B’ = 4 AC , donne

Aj’ + Bxj 4- C.r^ = V^4ACxj + Cx’= (j\/A ± .r/C)*-

II. Les deux facteurs contenus sous le radical, dans la formule

ont une somme constante : leur produit sera donc maximum quand ils seront égaux entre eux , c’est-à-dire quand on aura

ou X =

Le maximum de Y répond donc au milieu de DE ; il a pour valeur

F'H = F'ir= —,

îA 2

Par conséquent, si l’on mène, par les points H , H', des parallèles au diamètre, l’ellipse sera renfermée dans le parallélogramme RSTU.

III. Si l’on prend deux points P et Q à égales distances de F, les valeurs correspondantes de Y seront égales entre elles. En

effet, soit x = ' ± A; la fonction (x*— x) (x — x') devient

Ainsi, MP'= P'M'= NQ = N'Q'. De là résulte que les trois points M, F', N' sont en ligne droite; car les deux triangles MF' P', F'NQ' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, etc. De plus MF'= FN' : le point F' partage en deux parties égales toutes les cordes qui y passent. Ce point est donc un centre (74). Les mêmes conséquences subsistent pour l’hyperbole.

rv. Quand l’équation du second degré représente un point , son premier membre est la somme de deux carrés. En effet, soit

B’ — 4 AC < O , et /j’ = «7 : le trinôme placé sous le radical sera un carré changé de signe. Pour reformer l’équation (i), multiplions la valeur de j par 2 A , faisons passer (Bx-|-D) dans le premier membre , et élevons au carré ; nous aurons

(2.4v+B.r-f-D)’- [(B’- 4AC) 2 (BD- 2.AE).r-l-D’- 4AF] = o, ou

(2Aj-|-Br-t-D)’+ X/4AC-B’- = o. (*)