X -i- x'+jr = a, xx'ry=b

prenons, pour inconnues auxiliaires,

x + x'—u, y-i-y=v, xx'=p, }j'=q-, (a)

nous aurons, au lieu du système (i),

u-\-v — a, pq = b, u — cp, V z= dq. ( 3 )

On conclut, des trois dernières équations,

uv = bcd.

Donc , à cause de u -h v = a.

K = — — bcd,

On trouve ensuite très-aisément ,

Ses expressions imaginaires.

42. Généralisant ce qui a été dit à propos do l’écpiation .r’ 4- /;.r -I- 7 = O {R., dlf;., 110, 132), nn appelle expression

3a ALGEBRE.

imaginaire (*), ou simplement imaginaire, toute expression delà forme a ± \/— dans laquelle le radical porte sur une essentiellement nègatire ( — fi’ ).

Si l’on convient d’étendre aux imaginaires les règles démontrées jK)ur les quantités réelles {**), on aura

X xp=p v^~,

et a ± ^ — f;’ = a ± j3 ^ — I ;

c’est à cette dernière forme que l'on essaye toujours de ramener

toute expression qui ne représente pas une quantité réelle.

43. Si , dans l’expression a -f- {5 i , on suppose ^ = o, elle se réduit à a (***). Par conséquent, les imaginaires comprennent , comme cas particulier, les quantités réelles,

4i. Deux imaginaires sont dites conjuguées lorsqu’elles diffèrent seulement par le signe du coefficient de : telles sont X -h P yj — I et a — P )/ — I . La somme de deux imaginaires conjuguées est toujours réelle.

45. On appelle module d’une expression imaginaire lu racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et du coejfficicnt

de yj—\, cette racine étant prise positivement. Par exemple, le

module de 5 4- y/— i est w = -t- \/5’ -f- la’ = i3. Deux ima-

ginaires conjuguées ont même module.

46. Lemmb. — L’équation a -l- [i y/ — i = o se décompose en a = O et ^ = O.

En effet, il ne peut s’opérer aucune réduction entre la qiuxntité x et le symbole

47. Théorème. — Pour qu’une expression imaginaire soit mdle, il faut et il suffit que son module soit nul. i". Si l’imaginaire

(*) Nous n’avons pas cru devoir adopter la dénomination de quantité imaginaire, bien qu’elle soit employée dans des ouvrages jfttement estimés. il nous semble qu’une expression purement symbolique, qui ne peut représenter aucune grandeur, n’est pas une quantité.

(**) D’après la note précédente, il suffirait de dire : les règles démontrées pour les quantités.

(f**) d’après la convention précédente, p j — > =■ j — /?’; et

— ;V s’annule en même temps que /2,

ALGKBKE.

a 4- & yj— 1 est nulle , on a

a = O, (5 = O ( iC) ; (Jonc ni‘ = a’+ o, cl m — o.

a". Si le module est nul, a’+ o; donc a = o et [5 = o. -48. Addition et soustrm tinn des imaginaires. — En ojaîrant sur les imaginaires comme sur de véritables quantités, on obtient

(a + p - (.'4-|i' V^~i) = (a - Ji') v'— . {■,) (*)

49. Remarque. — Si la soustraction conduit à un reste nul , on a, d’après J’égalité (2) et le lemme (40) : « = a', S = p'. On voit donc, ou plutôt on vérifie, que toute équation de la forme A -I- B )/ — I = A'-|- B' y/ — I se partage en A = A' et B = B' ( ** ).

50. Multiplication des imaginaires. — Continuons à étendre aux imaginaires les règles ordinaires du calcul , et rappelons-nous tlue (v'— i )* = — I ; nous trouverons

51. Remarque. — pfvduit de dense imaginaires conjuguées est égal au carré de leur module.

52. Théobkme. — module d'un produit est égal ait jnvduit des modules des facteurs.

Soient

M = -J- y/î^'- fifi'y + ( xp'A- :

il faut prouver que mm' ~ M. Or, en effectuant et réduisant, on trouve

(='’+ (a'* pp'Y+ K^'4-

donc, etc.

Au moyen d’un raisonnement bien connu , on étend la proposition au cas d’un nombre quelconque de facteurs.

(*) Les égalités (1) et (2) pourraient être regardées comme des définitions.

(**) Cette proposition, qui ne dill’èro j>as csscnlicllemcnt de la proposition (-40), peut aussi se démontrer comme cette dernière.

33. Théorème. — Pour qu’un produit de facteurs imaginaires soit nul, il faut et il suffît qu’un de ses facteurs soit nul. Considérons , pour fixer, les idées , le produit

(a + ^ v/3T) (a'+ P' v/ZIT) («"4-

Soient m , m\ m" les modules des facteurs , M étant le module du produit. Si ce produit est nul, M = o (47); ou, par le théorème précédent, mm'm"= o. Cette dernière égalité, dans laquelle m, m', m", sont des facteurs réels, exige qu’un d’eux au moins soit nul. Soit m ce facteur nul; alors a-f-Sv/— i = o(47). C’est ce qu’il fallait démontrer.