Remorque. — On arrive plus rapidement à ce résultat en

multipliant les deux termes de la fraction - ' ^ par l’ima-

ginaire a'— p' y/— i, conjuguée du dénominateur.

56. Racine carrée d’une imaginaire. — Pour ramener l’expression sjcf.àzp\/—\ à la forme a'± p'y/— i, il suffit d’employer la relation générale

\fk±7^ ^ ± y/-

obtenue dans le n° 36, et d’y supposer A = x , B = — On obtient ainsi

Va^^

37. Remarque. — La somme des racines carrées de deux imaginaires conjuguées est toujours réelle.

38. Application aux équations bicarrées. — On a m , dans le n° 33 , que les racines de l’équation

x^-{- px^-J(- q — O, (i) sont données par la formule

Si le binôme iP^ — q est négatif, les deux valeurs de x' deve-

nant imaginaires, il y a lieu d’appliquer la transformation donnée ci-dessus (56). Faisant

on obtient, au lieu des valeurs (a) :

g: = ±^(\/ — p-\-l\/q±\lp->r% y/7[.\f^). (3)

Par exemple, l’équation

a pour racines

De même, les racines de l’équation

c’est-à-dire les quatre valeurs de ^ — ij sont données par la for mule

36 ALGEBRli.

que l'on peut réduire à

i)9. llcmarquc. — La formule (3) étant assez compliquée, il serait utile , pour soulager la mémoire , de pouvoir la retrouver rapidement, dans chaque cas particulier. C’est à quoi l’on parvient par la méthode suivante :

Après avoir transposé le terme ajoutons aux deux membres de l’équation (i) la quantité •i.v‘ \Jq ; le premier membre deviendra /</)*; en sorte que nous aurons

o\i , en extrayant les racines des deux membres , x’ 4- = ± .r ^ — P \

L'équation proposée est donc remplacée par les deux équations du second degré :

La formule ordinaire, appliquée à ces deux équations, reproduit les valeurs (3).

GO. Rcmanpœ. — En multipliant membre à membre ces dernières équations, on retombe sur la proposée (i), c’est-à-dire que

X* -+- px^ -+- q

Il est donc facile de décomposer le trinôme x‘ -+- px^ 4- q en deux facteurs réels du second degré (*). Par exemple,

X* 4- I = (x’ — xy/24-i) [x^-\- X i)-

EXERCICES