Si les axes sont rectangulaires, cos0 = o, et
En effet , MC = MR + RG .Si le centre est sur l’un des deux axes, par exemple sur l’axe des abscisses, P = o; donc
Enfin, si le centre est à l’origine, a = o, ^ = o : l’équation se réduit à
128. Dans l’équation (si), les coefficients des carrés des variables sont égaux à l’unité, et le coefficient de jt/ = 2cos0; par conséquent , pour qiCune équation du second degré puisse représenter un cercle, il faut (après la division par le coefficient de^*) que les coefficients dey'^ et de x’ soient égaux à l'unité et que le coefficient de xy soit le double du cosinus de l'angle des axes.
Réciproquement, si une équation de la forme (3) représente un lieu géométrique , ce lieu sera un cercle. Pour démontrer cette proposition, cherchons à identifier les équations (3) et (2); nous aurons les trois équations de condition
— 2(P-|-acos0) = «, — 2(a-t-pcos0) = ^, (7)
P’ -1- a’ + 2 «P cbs 0 — R’ = c : ( 8 )
a , P et R sont les trois inconnues. Les deux premières équations donnent
— b-\- a cos 0 a — ^ cos 0
2(1 — cos’O)’ 2(1 — cos’0)
Le dénominateur égale 2 sin’ 0, quantité essentiellement positive ; les deux valeurs de a et de p sont donc déterminées ét finies, et , par suite, on peut trouver le centre. Quant au rayon, il sera donné par la formule
R’ = P -f- a’ -f- 2 cos 0 — c.
Si le second membre est positif, R sera réel , et l’on aura un cercle dont le centre et le rayon seront connus. Si le second membre est nul , R = o : /e cercle se réduit à un point. Enfin, si R’ est < o, R est imaginaire et l’équation ne représente rien.
129. 11 n’est pas nécessaire, pour déterminer le centre, de ré-
soudra les équations ( 7 ) ; car si nous regardons a et p comme des variables, chacune de ces équations représentera une droite sur laquelle devra se trouver le centre ; donc il sera le point d’intersection de ces deux lignes.
Pour construire la première , faisons a = o ; nous aurons
S = - i. « = OB.
De même , p = o donne
QB
~ 2 cos 9 cos 0
Cette valeur montre que la droite cherchée AB est perpendiculaire
à Or; car OA — —
•' ’ cos9
Pour avoir la seconde droite, on prend OC = — - A, et on élève CD perpendiculaire à Ox.
Ces deux droites AB, CD, perpendiculaires à deux droites qui se coupent, concourent en un point I, lequel est le centre.
