THÉORIE DES TANGENTES
Coordonnées rectilignes.
I3I . Théorème. — Le eoefficient angulaire de la tangente h une courbe, est égal à la dérivée de Vordonnée par rapport h l’abscisse.
On appelle tangente à une courbe AB, la limite MT des positions d’une sécante MS qui tourne autour de l’un M de ses deux points d’intcrscction avec la courbe, ce point étant supposé JLtc, jiusqu’à ce que le second point M' d'intersection vienne se confondre avec le premier.
Cela posé , soient x, y les coordonnées du point M , et x + A, y-\-k celles du point M', de manière que h représente l’accroissement PP' de l’abscisse, et k l’accroissement M'R de l’ordonnée. Lorsque le point M' parcourt l’arc BM en se rapprochant du point B, le coefficient angulaire de la sécante MM' est, à chaque instant, égal
à 5 c’est-à-dire égal à Donc , d’après la définition précédente , le coefficient angulaire de la tangente TMT' a pour valeur la limite vers laquelle tend le rapport lorsque les deux termes
de ce rapport convergent vers zéro : or cotte limite est la dérivée dejr relative à x [Jlg., 179).
132. Si l’équation de la courbe est de la forme y =f{x) , ou aura donc, en appelant a le coefficient angulaire de la tangente ,
lim|.
lim
133. Plus généralement, si l’ordonnée j est une fonction cite de l’abscisse x, c’est-à-dire si l’équation do la courbe est
F’* + aF^=o, d’où a
134. Équation de la tangente. — Si nous considérons un point jwrticulier dont les coordonnées soient x\ y', l’équation de la tangente en ce point sera y -- y' = a(x — x'), pourvu que, dans l’expression générale de « , on attribue à x et j tes valeurs particulières a:' et/'. Cette équation sera donc
Chassant le dénominateur, on obtient
yh-'y + x¥'..=y'Fy+x'fr' (*)• (0
Il faut, à cette équation, joindre la relation entre les coordonnées du point de contact, c’est-à-dire
(*) On aurait une notation plus régulière si, continuant de représenter par X, y les coordonnées d’un point quelconque de la courbe, on désignait par X, Y les coordonnées courantes de la tangente en ce point; en effet, l’équation de cette droite serait
VF; -+-XF'^
Dans le cas où F(.r, r) est un polynôme entier, on peut, à l’aide de cette relation, simplifier le second membre de l’équation de la tangente. Cette simplification est fondée sur la proposition suivante :
135. Tiikorèhe. — ü étant une fonction de x et de y, entière, homogène et du degré m , on a
x\fx + jür = >n U.
Soit, en effet, U =
xU’x = , 7 if, = — p) kaf \
donc
ÆU^jr+/ü^ = 2(/J + W — p)kod‘ = ni^^kx*/”-’’ = /hU.
136. Revenons maintenant à la question des tangentes, et supposons le polynôme F(x', y') décomposé en plusieurs polynômes homogènes U„ , ü„, , . . . , U„ des degrés w , iw — i , . . . , o ; nous aurons, pour le point de contact,
puis , en appliquant le Théorème des fonctions homogènes.
Si nous retranchons du second membre la quantité nulle
nous n’en changerons pas la valeur ; donc
Au moyen de cette transformation , l’équation de la tangente devient
jFy -h X f!.. = - U,„. - îU„,, - 3 U„,, ... - m U„. (2 )
Cette nouvelle équation est plus simple que l’équation (i), car son second membre est , au plus , de degré /« — i .
137. Application. — Soit l’équation générale du second degré ;
A/’4- Bx'j'-t- Cx'^-I- Dj'-I- Ex'H- F = O.
La tangente au point (.r', j ') aura pour équation, d’après la formule (i) ,
jr(aAj'-|- Bx'-+- D) ■+■ .r(Br'-i- aCx'-|- F)
= a aBx'j'-l- Cx'*-|- Dj'-f- Ex'.
Retranchant du second membre le double du premier membre de la proposée, on obtient
j(a A/'+ Bx'-I- D) x(Bjr'-|- aCx'4- E) = - Dj'- Ex'— a F.
Coordonnées polaires.
138. Soit î^=./(w) l’équation de la courbe. Nous déterminerons la tangente en M par l’angle OMT = V qu’elle forme avec le rayon vecteur. A cet effet, menons la sécante SMM', et soit OM'M = V', de manière que V= lim V' (*). Abaissant MP perpendiculaire à OM', nous aurons
tangV=pjp-
Or. h étant l’accroissement de l’amplitude, et A- l’accroissement du rayon vecteur,
MP = sin A , PM' = OM' — OP = m -f- A — « cos A ;
U sin A
tangV' =
M -I- A — cos A
Si l’on supposait immédiatement A = o et A = o , on aurait
tangV=^:
mais il est bien facile d’éviter l’indétermination. En effet,
sin A
U sin A
tangV' =
2Msin’ŸA-+-A sin’IA . A'
(*) Le triangle OM' M donne
V h-TMS = V'h-A.
Mais TMS et h ont pour limites zéro; donc V = lim V'.
d’où , à cause de lim
ANALYTIQUE, sin J h
Th
ou enfin
lim tangV'= tangV =
tangV = -,,
lim ~ h
en appelant «' la dérivée de u par rapport à &>.
