De la formule tangV

-,5 on conclut une assez simple

construction de la tangente. MT étant cette droite, menons-lui, par le point de contact M , la perpendiculaire MN ( c’est-à-dire la normale à la courbe ) ; menons aussi, par le pôle, la perpendiculaire ON au rayon vecteur OM.

Nous aurons, dans le triangle rectangle MON,

tangN =

OM

ON

ôn‘

Mais, évidemment, N = V; donc, à cause de la formule ci-dessus,

ON = u'.

Ainsi , en prenant la perpendiculaire ON proportionnelle à on déterminera la normale NM, et, par suite, la tangente MT.

Problèmes sur les tangentes.

140. Problème I. — Mener, à une courbe algébrique, une tangente par un point extérieur donné.

Soit F(x,j) = o l’équation de la courbe. L’équation de la tangente au point de contact inconnu (x', y') est

Cette droite devant passer par le point donné ( a , p ) , les inconnues x', y’ doivent vérifier l’équation

On a, en outre,

On devra donc , dans chaque cas particulier, chercher les systèmes de valeurs réelles de x' et dejr' qui satisferont aux équations (i) et (2).

141 . Remarque. — On a vu ci-dessus que , m étant le degré de l’équation (a), la fonction j'F^- -h •r'F’x', de degré w, peut être réduite à un polynôme de degré wi — i au plus. Ck)nséquemment , d’après un théorème dû à Bezoïit, l’élimination de l’une des inconnues, de^' par exemple, donnera une équation finale en x' dont le degré ne pourra pas surpasser m{m — i).

En d’autres tenues , le nombre des tangentes que l’on peut mener à une courbe d’ordre m, par un point non situé sur cette courbe, ne peut surpasser m [m — i).

142. Au lieu de considérer, dans les équations ci-dessus, x' et ^ ' comme des inconnues , on peut les regarder comme des coordonnées courantes; alors l’équation (i), ou plutôt l’équation

pFr 4- «Fx-I- U„, -1- 2Ü„j4- • . .4- »» ü, = O, (3)

obtenue comme il a été dit ci-dessus , est celle d’un lieu géométrique passant par les points de contact.