Application au second ordre. — Dans le cas où

F(j:, j) = Aj’-t-Bxy-t-Cx’-t-Dj-l-Ex-fF, l’équation (3) devient

P(2Aj-|-Bx + D) -i-a(B/-4-2Cx-l-E) -f-Dj-f-Ex-l-aF = o (*).

144. Problème II. — Mener, à une courbe donnée, une tangente parallèle à une droite donnée.

a étant le coefficient angulaire de ia droite, les coordonnées x, y du point de contact seront données par les deux équations

F(x, j) = o, (1) F'x-l-flF^ = o. (2)

Si la première équation est de degré m, l’autre sera du degré m— i ; par conséquent , le nombre des tangentes parallèles à une direction donnée est, au plus, m[m — i).

(*) Cette équation , du premier degré en x et y, représente la corda des contacts, ou la polaire du point (“. /3)-

ANALYTIQUE. 3y5

l-iS. Dans le cas particulier où la tangente cherchée doit être parallèle à l’axe des abscisses, a = o; donc les coordonnées des points de contact seront données par les deux équations

De même , les points de contact des tangentes parallèles à l’axe des ordonnées seront déterminés par les équations

F ( X, j) = O, Fj. = O.

Application de la théorie des tangentes a la discussion des courbes.

146. La discussion du coefiBcient angulaire de la tangente peut servir à reconnaître les particularités ou les affections principales que présente une courbe. Par exemple, comme une fonction est croissante ou décroissante selon que sa dérivée est positive ou négative {Alg., 224), il s’ensuit affune courbe ayant pour équation

y =z f[x), V ordonnée y augmente ou diminue avec x, suivant qiu;f'(x) est positive ou négative; c’est-à-dire suivant que la tangente au point [x, y) fait, avec la partie positive de l’axe des abscisses, un angle aigu ou un angle obtus {*). Du reste, ce résultat parait évident par la figure ci-jointe.

147. Ordonnées maximums et minimums. — Au point B, l’ordonnée cesse de croître , pour décroître ensuite : on dit qu’elle atteint un ma.rimum, ou qu’elle devient maximum (.dlg., 225 ). De même, au point C, l’ordonnée est un minimum. D’ailleurs, le long des petits arcs bb', cc', f'[x) passe du positif au négatif, ou réciproquement; donc, pour ces points mêmes, on a/'(x) = o (**). De là le théorème suivant, sur lequel nous reviendrons bientôt:

Les valeurs de x qui rendent f{x) maximum ou minimum, sont comprises parmi les racines réelles de l’équation f‘{x) = o.