Sens de la convexité ou de la concavité. — Quand une

(*) Nous supposons ici, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires.

C**) Ceci suppose que f est continue dans l’intervalle considéré.

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courbe AB est située au-dessom de sa tangente TT', elle tourne sa

convexité vers le haut de la figure , et sa concavité vers le bas. Le contraire a lieu quand la courbe est au-dessiut de la tangente.

D’un autre côté , il est aisé de voir que, dans le premier cas, le coefficient/'(x) décroît avec x, tandis que cette fonction est croissante dans le second cas(*). D’après la règle qui sert à reconnaître si une fonction est croissante ou décroissante , on peut donc affirmer que :

Une courbe dont V équation est y = f[x ), tourne sa convexité vers le haut ou vers le bas de la figure, suivant que la seconde dérivée de l’ordonnée f" [x] est négative ou positive.

149. Points d’inflexion. — Il peut arriver que la courbe, après avoir tourné sa convexité dans un sens, la tourne en sens contraire : les points où se fait le changement sont appelés points d’inflexion. Le raisonnement employé à propos des points pour lesquels /(.r) est maximum ou minimum, est applicable ici, en sorte que :

Les valeurs de x correspondant aux points d’inflexion d’une courbe représentée par y = /(x), sont comprises parmi les racines réelles de l’équation f” [x) = o (**).

(*) Le cas où l’arc AB aurait la situation indiquée ci-contre pouvant embarrasser le lecteur, nous le considérerons spécialement.

Remarquons d’abord que l’angle a, qui a pour tangente trigonométriquey'(x), s’obtient en menant par le point M une parallèle à l’axe des abscisses , dirigée de gauche à droite , et en considérant le segment MT de la tangente situé au-dessus de cette parallèle. Cela posé , il est clair que, le long de l’arc AB, a diminue quand x augmente ; donc l’angle aigu fi , supplément de a, augmente avec x. D’ailleurs cet angle aigu varie dans le même sens que sa tangente trigonométrique, dont la valeur est — y'(r). Donc aussi — J'{r) croit avec x; et, par suite, y(x) décroît quand x croit; etc.

(’”') Ce théorème suppose quey'"(x) est continue le long de l’arc con-

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Application de la théorie des tangentes aux questions de maximums et de minimums.