Rappelons d’abord que

i". f[.v) est maximum pour x = a, si l’on a

h étant une quantité suffisamment petite. De même, f{x) est minimum /Jour X = b, si l’on a

Les valeurs de x qui rendent f[x) maximum ou minimum, sont comprises parmi les racines réelles de f'[x) = o (*).

151 . Ajoutons , pour compléter cette règle , que l’on distingue le maximum du minimum par le signe de f(x) : suivant que la racine de f [x] =0 rend cette seconde dérivée négative ou positive, f{x) est maximum ou minimum (148). Et si cette racine b annule /"(x), alors /(^>) n’est, ordinairement, ni un maximum ni un minimum de/(x).

152. Maximum ou minimum d’une fonction de deux variables indéjjendantes.

Soit Z =f{x, y), et supposons d’abord que j soit une fonction de X ; J = ? ( •^)* En appliquant la règle relative à la dérivée d’une fonction composée ( yllg,, 210 ), on aura, pour déterminer le maximum ou le minimum de z,

Pour passer au cas où y est indépendant de x, il suffit de regarder Ÿ (x) comme une fonction complètement arbitraire : en effet,

sidéré. En outre, il peut arriver qu’une racine réelle de y*(x) = o ne corresponde pas à un point d’intlexion. Par exemple, y = x*.

(”) Observons néanmoins que, dans certains cas, le maximum ou le minimum de y(x) peuvent être déterminés pary'(x) = 00 . Si l’on considère , par exemple , la seconde parabole cubique représentée par

r= I -t- ^(x— OS

on voit que l’ordonnée correspondant à x = i est plus petite que les ordonnées répondant a 1 = \ ± h. Ainsi x =. 1 rend / minimum. Or, cette valeur de i rend infinie la dérivée

il est indifférent de supposer qu’à une valeur quelconque de x correspond une valeur quelconque de j, ou de supposer que ces deux variables sont indépendantes l’une de l’autre. L’équation devant subsister quelle que soit se décompose en

/x' = o, et fj-o. (2)

Ainsi, jxyur déterminer le maximum ou le minimum d'une fonction de deux variables indépendantes , on égale h zéro les dérivées jMrtiellcs de cette fonction. La même règle subsiste pour une fonction de plusieurs variables indépendantes.

Afin de ne pas trop nous écarter du Programme , nous passerons sous silence la règle qui sert à distinguer le maximum du minimum.

EXERCICES