Pour obtenir les branches infinies aux deux axes

faisons, dans l’équation de la courbe, x = wcosw, r = zzsinw, de manière à passer des coordonnées, supposées rectangulaires, à des coordonnées polaires. L’équation transformée sera

A. zr + A. uT-' -H A, zz’"-’4-. . .+ A„ = O, (6)

A, , A, , Aj , . . . , étant des fonctions Itomogènes de sin &> et cos w , respectivement des degrés /zz , z/z — i , zzz — 2 , . . . . Le terme A,zz"*, par exemple, provient de l’ensemble des termes de degré zzz, dans lesquels on a remplacé x par u cos w et y par zz sin w. Après cette substitution, zz” est devenu facteur commun, etc.

Cela posé, on peut raisonner sur l’équation (6), absolument comme sur l’équation (i). Par conséquent, après avoir tiré de l’équation A, = O une valeur réelle a de l’angle w , on remplacera w par a + /z, et on examinera si, pour des valeurs de h suffisamment petites, l’équation (6) peut acquérir une racine réelle plus grande qu’une quantité donnée. Si cela arrive, il y aura des points de la courbe aussi éloignés qu’on le voudra de l’origine; c’est-àdire que la courbe aura une branche infinie dans la direction représentée par w = a.

161. Remarque. — La résolution de l’équation A, = o donne, tout à la fois, les branches infinies obliques ou parallèles aux deux axes , et même , parmi ces dernières , celles qui s'éloignent indéfiniment de l'axe qtd leur est parallèle : les coordonnées polaires ont donc, dans la théorie des branches infinies, un grand avantage sur les coordonnées rectilignes.

Coordonnée* reotili^es,

162. Asymptotes parallè-les à l'axe des ordonnées. — La recherche des branches infinies parallèles à cet axe (159) donne immédiatement les asymptotes parallèles à ce môme axe. En effet, si l’équation de la courbe est vérifiée par une valeur a de .r, finie et réelle, et par une valeur infinie de j, il est clair que r = a. représente une droite dont la courbe s’approche indéfiniment, sans jamais l’atteindre : en d’autres termes, .r, = a est l’équation d’une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées.

38a GÉOMÉTRIE

163. Asymptotes obliques à l’axe des ordonnées [méthode de M. Cauchy). — L’équation de l’asymptote cherchée GH est de la forme j'= cx-\-d. La différence MM' entre les ordonnées MP,

M'P de deux points correspondants, a pour expression

y 0 étant l’angle des axes, et a, l’incli-

> / naison de l’asymptote sur Ox. Par la

S- définition de l’asymptote, MQ a pour limite zéro. D’ailleurs sin(0 — a) est une constante différente de zéro, at- 07 P J tendu que GH est supposée oblique

' à Oj. Donc, à partir d’une certaine

valeur de x , MM' diminue indéfiniment lorsque x augmente. Conséquemment, la valeur de l’ordonnée MP doit être de la forme y = ex -^r d -\~y étant une quantité qui diminue indéfiniment lorsque x augmente , et qui s’annule pour x = « .

Divisant tous les termes par x, on a

— a pour limite zéro , - tend également vers zéro ; donc c = lim-* (A)

On a ensuite rf = j — ex — V;

d’où rf=lim(j— ex). (B)

164. Supposons que l’équation de la courbe soit algébrique , et que son premier membre soit décomposé en plusieurs parties homogènes, respectivement des degrés m., {/« — i), (/« — a),. . . . Si nous posons y — ex, cette équation deviendra , d’après ce que l’on a vu précédemment,

D’après la formule (A), on doit chercher vers quelle limite tend

lorsque x croît indéfiniment , ou , ce qui est équivalent , quelle

valeur on doit attribuer à c , pour que l’équation { i ) ait und racine infinie. Le coefficient c sera donc déterminé par F,(c) = o.

En second lieu , posons

y — cx^d, ou ^ = c -H

ce qui revient à remplacer, dans l’équation ( i), c par <? + -■, et à

déterminer d par la condition que x ait une seconde valeur infinie. Cette équation devient

OU , en développant chaque terme par le théorème de Taylor, ^[F.(f)+^F.M+i.ïr.(c)+...]

+ ^-'[F,W + jF,(r) + ...]

-t-ar"-’[F3(c)+...]

Ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x^ on a, en observant que F,(c) = o,

[rfF7,c)+F,(c)]x”-‘+[w/=F.(r)+rfr,(c)+F,(c)Jx"'-’4^ . . = o.

A cause de la formule (B), cette équation ne doit avoir lieu qu’au moment où x devient infinie ; donc

r.(c) + F,(c) = o, ou