Remarquons d’abord que, si une branche infinie ARC a

une asymptote GH, la limite des directions des rayons vecteurs qui rencontrent la courbe, est la droite OD, menée par l’xrigine , parallèlement à V asymptote.

Menons MP perpendiculaire à OD.

Quand le point M s’éloigne indéfiniment sur la branche ABC, le rayon vecteur OM et sa projection OP croissent au delà de toute limite , tandis que MP tend vers une

limite finie, égale à la perpendiculaire OE abaissée de l’origine sur l’asymptote. Donc lim. angle MOP = o.

Cela posé, si/(«, w) = o est l’équation delà courbe, on cherchera les valeurs finies a', a", . . . , de l’amplitude w, qui rendent injîni le rayon vecteur u, et l’on aura ainsi les directions des asymptotes. Il ne restera plus, pour déterminer complètement ces droites, qu’à chercher leurs distances à l’origine. Or, soient a l’angle de GH avec Ox, et d la distance OE; on aura, par ce qui précède,

d = lim sin ( w — a ) pour w = «.

173. Remarques. — I. Le produit Msin(c«) — a) se présente nécessairement sous forme indéterminée quand on y fait ta = a; car pour cette valeur de ta, « = oo , et sin (w— «a) = o. Quand l’équation de la courbe est résolue par rapport à u, on peut aisément trouver la valeur de d.

En effet, supposons que la valeur de u ait été mise sous la forme — ) en sorte que a soit une racine réelle de l’équation 9 (ta) = o.

Reprenons l’expression générale de MP ; w sin (ta — a) = ■ — ;

et, avant de supposer ta = a, remplaçons ta par a -|- h. Nous aurons

sin A

ou, en retranchant du dénominateur la quantité y(«), identiquement nulle, et en divisant ensuite les deux termes par A,

sin A

La limite du numérateur est l’unité , et la limite du dénominateur est y' (a); donc

t/=limMP = -r^ (*).

(•) Plus généralement, soit une fraction jr = ^ j qui devient^

quand on attribue à x une valeur particulière a. On aura, par le même

II. Si <p'(«) = O, c’est-à-dire si a n'esl pas une racine simple de l’é(piation ~ distance MP croit au delà de toute limite : il «’j a pas d'asymptote.

Applications.

2x -f- 2. La discussion de cette formule montre que la courbe se compose de quatre branches infinies, symétriques deux à deux par rapport à l’origine. L’axe des y est asymptotique aux quatre arcs EF, E'F', AB, A' B'. D’ailleurs,

donc c = I . Ensuite ,

d’où d—±\. Les asymptotes obliques sont donc les droites GH, G' H', représentées par y = x ± i . Elles coupent la courbe aux points B, B', E, E' donnés par x = ± i.

2°. = x’=t yjx-— 2x-t- 2. La courbe a quatre branches in-

finies. Elle a pour axes de symétrie les axes coordonnés (supposés

calcul ,

•''“F(a-Hfc) FCa-+-A)-F(«)’

et, pour X = a ,

Ainsi, pour obtenir la vraie valeur de la fraction , on prend le quotient des dérivées des deux termes, et onj remplace x par a.

Si ce nouveau quotient se présente aussi sous la forme -j la vraie va-

leur est”|;.„^-'; etc.

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ANALYTIQUE. 38g

rectangulaires). L’application de la règle générale donne d’abord c = ± I, puis

ex — ± ^x‘ — 2 X +

^x’±^x’ — ax + a±x

\/ '-\Jî?-7+7

Les deux quantités représentées par celte dernière formule ont pour limite ±^* Conséquemment, l’équation des asymptotes est

J = ^ ( X ± ^ • La courbe a donc quatre asymptotes.

3°. J* = x’ ± X y/x. La courbe a deux branches infinies passant par l’origine.

On trouve , comme ci-dessus , c = ± i . Mais comme

y — ex = ± —

quantités qui peuvent croître au delà de toute limite, la courbe n'a pas d'asymptote.

4°. u = donc

; — J — On a sin-a =

I — a sin T w 2 a

« = 6o“ et a = 3oo°.

Considérons, par exemple, la direction déterminée par a = 6o®.

tp'(w) = — cos - w; d’où y'(a) = — cos3o°= — -y3-

Nous aurons ensuite d— ^ ^ valeur absolue). La première

asymptote est donc complètement déterminée. On trouverait de même la seconde.

5°. K = -• Celte équation est celle de la spirale hyperbolique,

qui tourne indéfiniment autour du pôle , sans jamais l’atteindre.

Pour celte raison , le pôle est appelé point asymptotique. La condition M = 00 donne w = o. Ainsi la courbe a deux branches infinies , parallèles à l’axe polaire. La formule d = ^ donne rf = i .

Les deux branches ont donc pour asymptotes des droites parallèles à l’axe.

... COSW — C0S2W X 3 , I T J- 1

b°. U = ; = tans - w. tans - w. Les directions des

cos » -f- cos 2 w 2 2

branches infinies sont données par a = ± 6o“ et a = ± 1 8o".

Considérons la valeur a = 6o°. Nous aurons

. , sm| w.sini M.sin (w — 6o®)

U sm(w — 6o“) = — 1 i

cos^w.cosl^w

Le facteur ). devient - pour w = 6o°. Sa i

cos î w O

leur, d’après la règle démontrée ci-dessus, est —

Conséquemment,

dz=-- tang 45” =

Le signe — indique que l’asymptote est située au-dessous du rayon vecteur incliné de 6o° sur l’axe polaire.

Les branches parallèles à l’axe polaire n’ont pas d’asymptotes.

SXXULCICZUS.

I. Trouver les branches infinies et les asymptotes des courbes ayant pour équations,

y^ — Zyx^-^- ijc* -i-y + X = o,

[y — xY{y -\-x) — 2(jr — — ar)x4-i = o,

I — I COS 6 w • — T cos ï w

sin 3 w — sin w

Il =

3tji

( 3 + ) arc tang X — 3x