Soit F(x,j) = o, (i

l’équation de la courbe ; les cordes parallèles à la direction donnée pourront être représentées par

y — mx-\-a., (a)

m étant une constante et a un paramètre variable. Pour avoir les abscisses des points où la droite rencontre la courbe, on élimine/ entre les équations (i) et (a); ce qui donne

F ( X , mx + a ) = o. ( 3 )

Remarquons actuellement que si la droite MN rencontre .ABC

en plusieurs points M , N , L , . . . , ces points , considérés deux à

deux , déterminent des cordes MN , ML , NL , Dans

chacune, d’elles l’abscisse du milieu est égale à la demisomme des abscisses des extrémités. Ainsi , x' et x" étant deux racines réelles de l’équation (3), l’abscisse X, du milieu de la corde correspondante sera

JC* —

donnée par x^ — — Il faudra donc , pour obtenir

les abscisses de tous les points milieux P, R, Q, — déterminés par la droite MNL,. . former réquation aux demi-sommes des racines de l’équation (3). Soit

cette nouvelle équation. On aura , entre les coordonnées x, et d’un même point du diamètre , la relation = ///x, -f- a. Si donc, entre ces deux dernières équations , on élimine a qui varie avec la position de la droite mobile MNL, on aura l’équation du diamètre. 177. Application, — Prenons la première parabole cubique ABC,

représentée par

L’équation (3) sera

X® — mx — a = o.

Ordinairement, la recherche de Vequation aux demi-sommes est un calcul pénible. Mais ici on peut recourir à un procédé particulier. En effet, x\ x\ X- eiant les irois racines , on a

donc et enfin

Ainsi , l’abscisse du point P est égale à la moitié de l’abscisse du point L, prise en signe contraire. Remplaçant x par — a x,, on a

— 8 xJ + a »/x, — a = o.

L’élimination de « donne ensuite

La courbe DOF, représentée par cette équation , a la forme indiquée sur la figure {ni étant supposé compris entre o et 1).

178. Application aux courbes du second ordre. — Les équations ( i) et (-2) étant

Aj*+ Bo'j'-)- Cx’-l- Dj-l- Ex -f- F = O, (i)

si l’on élimine j, on obtiendra une équation de la forme Rx’ -J- aSx -f- T = O. (3)

Soient x' et x" ses racines ; l’abscisse du point milieu de la corde est

Mais x'-|-x" = — ^5 donc x, = — g)

ou R X, -P S = O. ( 4 ) '

Cette équation ( 4 ) étant la dérivée de l'équation ( 3 ) , on peut , pour la former, prendre la dérivée complète de l’équation (i), en considérant y comme une fonction de x égale à /«x -|- a , et remplacer ensuite j par cette valeur. Le premier calcul donne, par le principe des fonctions composées ,

(2 Aj^4- Bx D)/n -f- + 2Cx E = O. (5)

Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin ; l’équation (5) représente le diamètre. En effet, si, conformément à ce qui vient d’être dit, nous remplacions, dans cette équation, y par wx-p a, il nous resterait ensuite , pour éliminer a , à écrire y au lieu de /wx -f- a. Nous retomberions donc sur l’équation (5).

179. Remarques. — I. L’équation (5) étant du premier degré, il s’ensuit que, dans les courbes du second ordre , tous les diamètres sont des lignes droites (*).

C*) En général , si l’équation de la courhe donnée est algébrique , et du degré n, le degré de l'équation du diamètre sera — ^ .

3g4 GÉOMÉTRIE

II. Si l’on représente par/(.r, 7) le premier membre de l’équation (i), on pourra écrire l’équation du diamètre sous cotte forme abrégée :

Propriétés des diamètres, dans les courbe» du second ordre.