En partant des équations

Aj’-j-B.rj4-Cx*-l-D.r-l-Ex-|-F= O, (i) X=mx+x, (a)

nous avons trouvé, pour équation du diamètre,

(a Aj-t- Bar-f-D)//» H- B/-f- aCx -I- E = O. (3)

Voici quelques-unes des propriétés qui résultent immédiatement de cette équation ;

1®. La tangente à V extrémité d'un diamètre est parallèle aux cordes (pie ce diamètre divise en deux parties égales. En effet, l’équation (3) donne

Bj 4- 2 C 4- E aAj -|- B.x -f- D ’

X et J étant les coordonnées du point commun au diamètre et à la courbe. Or cette valeur est précisément celle du coefficient angulaire de la tangente en ce point. Donc cette tangente est parallèle aux cordes. Cette propriété peut aussi être démontrée géométriquement.

a°. Dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles entre eux. Si /«' est le coefficient angulaire du diamètre , on a , par l’équation (3) ,

Mais

donc

B(aAw + B) B .

aA(aA/«4-B) aA'

(*) Si l’on avait a Am -i- B = 0 , on ne pourrait plus supprimer le facteur commun; mais il est facile de voir que, dans ce cas , l’équation (3)

ANALYTIQUE. 3g5

Les diamètres de la parabole ont donc pour coefficient angulaire

la quantité constante

181. Diamètres conjugués. — En représentant par m le coefficient angulaire d’une série de cordes, et par m' le coefficient du diamètre correspondant , nous venons de trouver

m — T 5 J ou , ce qui est équivalent,

2 ttt I XJ

2 A mm' 4- B ( -4- w' ) -1- 2 G = O.

Cette relation est symétrique par rapport à w et m', c’est-à-dire qu’elle ne change pas quand on y remplace m par m' et m’ par m. Il résulte de là que si l’on considère (dans une ellipse ou dans une hyperbole ) deux diamètres dont les coefficients angulaires soient m et m', chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à Vautre. C’est pour cette raison que ces diamètres sont dits conjugués.

Bes axes.

182. Examinons si, parmi les diamètres d’une courbe du second ordre , il en est un qui soit perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales : ce diamètre prend le nom A'axe. Supposons, pour plus de simplicité, les axes coordonnés rectangulaires : nous devrons avoir, entre les coefficients m et /«', la relation m'= — i (114) ; donc le coefficient angulaire des cordes devra

vérifier 1 équation — ’

^ m 2 A OT 4- B

ou rtv—'i. — g — m — i — O. ( i )

Le dernier terme est négatif; donc il y a deux valeurs réelles de m et deux directions de cordes principales.

se réduit à BD — 7 AE = o, relation qui ne saurait avoir lieu si la courbe donnée est une parabole. Par conséquent, aux droites dont le coe/ficient

angulaire est , ne correspond aucun diamiirc. Ce résultat tient à

ce que chacune des droites dont il s’agit rencontre la parabole en un seul point.

3g6 GÉOMÉTRIE

De plus , ces deux directions sont perpendiculaires entre elles ; car le produit des valeurs de m est égal à — i .