M'P OM

En effet ,

NR . ON

*1. Théorème. — Si une droite, de longueur constante, glisse entre les côtés d’un angle donné , un point quelconque de cette droite décrit une ellipse ayant pour centre le sommet de l’angle.

II. Théorème. — Si une droite, de longueur constante, glisse entre les côtés d’un angle donné , un point quelconque , invariablement lié à celte droite , engendre une ellipse ayant pour centre le sommet de l’angle.

lU. Quelles sont, en grandeur et en direction, les axes de l’ellipse engendrés par le sommet d’un triangle dont la base glisse entre les côtés d’un angle donné?

(*) On exprime quelquefois cette relation entre les deux courbes , en disant que l’ellipse est un cercle contracté, ou que le cercle est une ellipse dilatée. Le principe de la dilatation est un cas très-particulier de Vhomographie.

(*.") A cause de l'étendue de ce chapitre, et des divisions tranchées qu’il présente, nous plaçons, après chacune d’elles, les exercices qui s’y rapportent. La même remarque s’applique aux chapitres XIX et XX.

ANALYTIQUE. 4n

Bes foyert et de* directrice*.

218. On appelle foyer d'une courbe du second ordre, un /joint dont la distance à un /joint de la courbe est une fonction rationnelle et du premier degré des coordonnées rectilignes de ce dernier /joint.

Il résulte, de cette définition, qu’à chaque foyer correspond une droite nommée directrice, telle, que les distances d'un /joint quelconque de la courbe au foyer et à la directrice corres/jondantc sont dans un rap/jort constant. En effet, soit S la distance du foyer à un point quelconque (x , y) de la courbe. D’après la définition , on doit avoir § = niy ru: /j. D’un autre côté , si l’on

considère la droite représentée par my -y nx p = o , la distance du point (x, j) à cette droite sera

J my -y nx -y P , ^

d— ou (/=■-■ ;

}Jm^ -y n^ }jm^ -y ré

donc

né -y ré — d

coust.

Ainsi l’équation my -y nx -y p = o représente une directrice.

219. Recherche des foyers d'une courbe dont l'équation est donnée. — Soit

Aj’-f- + Cx’-l- Dj-f- Ex -f- F = O (i) cette équation.

En représentant par a , p les coordonnées du foyer, et en supposant les axes rectangulaires, nous devons avoir, d’après la définition des foyers ,

yj{x— ^Y= my + nx-yp,

ou (x — ccY-y{y—pyz=(iny-yr/x-ypy.

Cette relation entre x et y, appartenant à tous les points de la courbe, doit pouvoir être identifiée avec l’équation (i). Développée , elle devient

(i — m^)y^ — imnxy -|- (i — . )x’ — a( (3 + rnp)y )

— -y n/j) X -y cé -y — /j‘‘ =z O. 1

Il faut donc que les coefficients de l’équalion (ï) soient égaux à

4i2 GÉOMÉTRIE

ceux de l’équation (i), multipliés respectivement par un même

facteur >. Par suite.

i B = — 2 nin ,

XE = — 2(a -1- n/i).

ÀC = I —

\Y=céy-p‘ — jé.

220. Sans vouloir résoudre ces six équations par rapport aux six inconnues a, p, ni, nous ferons les remarques sui-

vantes ;

i". Si l’on retranche (5) de (3) et qu’on divise par (4), on obtient

A — G m n ni ‘

ou , en posant — = e,

Cette équation a ses racines réelles (*). a". Les équations (3), (5) donnent | comme

le rapport ^ = v est réel , \ sera réel.

3°. Les équations (3), (4), (5) donnent encore

)i’(B’-4AC) = 4(/w’+«’-i).

Cette dernière relation , dans laquelle est positif, prouve que dans le cas de l’ellipse , on a né + n’ < i . Or , on a trouvé

d = - ■ ■ ; donc rf ^ : chaque point de l'ellipse est plus

y/ni’ -4- ré

prés du foyer que de la directrice correspondante. Pour l’hyperbole, c’est le contraire , à cause de rf < Enfin , dans le cas de la parabole , on a in’ -|- n’ = i , rf = (î ; donc chaque point de la parabole est également distant du foyer et de la directrice. Ce dernier résultat s’accorde avec cé cpie l’on a vu au n"* 64.

(*) Cette équation est celle qui donne les directions des axes principaux (182). Par conséquent, la directrice est perpendiculaire à l’un de CCS axes.

ANALYTIQUE. 4i3

221. Nous remarquerons encore que si B = o, l’équalion (4) devient nin = o ; ce qui exige que ni = o ou « = o ; donc , dans ce cas, la quantité rny ->r nx p se réduit à «y ou à nx -1- p. Ainsi , quand la courbe est rapportée à des axes parallèles aux siens, la distance d’un point quelconque au foyer est une fonction rationnelle de l’abscisse ou de l’ordonnée du point.

222. Pour étudier les propriétés des foyers, nous pouvons supposer que l’équation de la courbe soit ramenée à la forme la plus simple. En effet, les formules relatives à la transformation des coordonnées rectilignes renfermant ces quantités au premier degré seulement, il s’ensuit que si un jMÎnl est un foyer par rapixnt à un certain système d'axes, il sera également un foyer par rapport h tout autre système.

223. Cela étant, supposons l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes, et voyons si la distance du foyer à un point (x, j) do la courbe peut s’exprimer par une fonction rationnelle de l’abscisse (221).

On a ( j: — (^ — P)’ et y = ±^y/d‘ — x'.

S devant se réduire à une fonction rationnelle de x, il en doit être de même, à plus forte raison, pour S', ce qui ne peut avoir lieu que si § = o ; donc , s'il y a un foyer, il est sitiui sur l'axe des abscisses.

La substitution donne

5* = (x — a)’-4- ^ (a’ — x’) = ~ ^ — aax a’-l- 6’.

Pour que S soit ratiomiel, il faut que le trinôme soit un carré parfait; donc aé= — (a’-|- ô’) ,

ou a = ± y/rt’ — b*.

Ces valeurs seront réelles si a surpasse b ; donc l'ellipse « deux foyers situés sur le grand axe , de part et d'autre du centre, à une distance de ce point égale à — b'-

224. Pour construire les foyers F, F', il suffit de décrire , de l’extrémité B du |)ctit axe comme centre, avec a pour rayon, un arc FF'.

4i4 GÉOMÉTRIE

La distance OF=OF'= yja^—hi^ est quelquefois appelée excentricité ; on la repr^ente ordinairement par c.

223. Soit maintenant S la distance d’un point M de l’ellipse nu forer de droite , et S’ sa distance au forer de gauche. Nous aurons

= —T x' 1CX -4- .r’, a

A cause de c <a, 1a quantité comprise dans la première parenthèse sera toujours négative, tandis que la quantité comprise dans la seconde parenthèse sera toujours positive. D’ailleurs , lî et lî' représentant des sont des quantités essentiellement jwsitives. Donc nous devons prendre

226. Remartjucs. — I. Chacune de ces dernières équations représente l’ellipse : les coordonnées d’un point quelconque sont ses. distances au foyer et au petit axe.