Le coefficient angulaire de la tangente est

tanga.

Si le point M est sur le premier quadrant de l’ellipse , .r' et j ' sont positifs; donc tanga est négative, et l’angle a est obtus.

Si le point M se confond avec le sommet A , tang a = — « , ou a = 90®. Ainsi la tangente h l’extrémité du grand axe est perpendicidaire à cet axe. Si le point M s’avance vers la gauche, x' diminue, j'augmente, tanga diminue, mais cette tangente est négative ; donc l’angle a augmente. Enfin , quand le point M arrive au sommet B, x' = o, j'= b, tanga = o, a = 180®; etc.

234. Les tangentes menées aux extrémités d’un même diamètre sont parallèles entre elles; car l’expression de tanga ne change pas si l’on change x' et j' en — x' et —y'. On pouvait prévoir ce résultat; car ces tangentes sont parallèles aux cordes que le diamètre divise en deux parties égales (180).

235. Relations entre la tangente et le diamètre passant par le point de contact.

1®. a' étant l’angle formé par le rayon OM avec le grand axe,

tang *'=^5 donc

tanga. tang a = — —•

2". En appelant V l’angle OMT,

on a

donc

— 6’x' jr'

tanaV - tongg- tanga' a^y'

° I + tang a tang a'

— câb*

Cette quantité est négative ; donc l’angle V est obtus : il n’y a d’exception que pour les sommets A et B, auquel cas V = 90°. Il résulte de là que l’angle V a un maximum.

236. Rencontre de la tangente avec les axes. — Si, dans l’équation (2) , on fait j= O, on trouve x — ^ — OT, valeur indépendante de b. Conséquemment, la tangente à toute autre ellipse ACA' ayant AA' pour axe, menée au point M' dont l’abscisse est x, passera par le même point T. Si l’on considère , en particulier, la circonférence décrite sur AA' comme diamètre , et qu’on lui mène la tangente M'T, la tangente MT à l’ellipse sera déterminée (*).

237. PnoBLÈHE. — Mener à l’ellipse une tangente par un point extérieur (a, P). — Soient x', y' les coordonnées du point do contact : l’équation

d’yy' -i- b‘‘ xx' = a’ b devra être vérifiée par x = a, j = donc

a?Py' -^boix' = b. (ï)

On a, en outre.

a^y” b x'^ — a’ b . (2) Ces deux équations donnent

, b a. ± ^ ^ a’ P’ b oé — a’ b ^ . a’p’-\- b aé ’

, , J (3 q= a y/rt’ P’ -|- b cd — a’ b ^ a’P’-\- b a’

Ces valeurs sont réelles, et le problème est possible, quand

(*) Cette construction résulte, immédiatement, de ce que l’ellipse est un cercle contracté ou dilaté dans un sens (217).

on a o’&’ + ér’a’— o; c’est-à-dire quand le iwint (a, p) est extérieur à l’ellipse. Si le point est sur l’ellipse , on n’a plus qu’une tangente. Enfin, il n’est pas possible de mener à l’ellipse une tangente par un point intérieur.

238. On peut résoudre géométriquement la question précédente. On considère chacune des deux équations { i ) et ( 2 ) comme représentant un lieu géométrique : l’équation ( 2 ) appartient à l’ellipse; l’autre représente une droite qui passe par les points de contact , attendu que cette équation est vérifiée par les coordonnées de ces deux points. Cette droite existe toujours, même si le point (a, P) est à l’intérieur de l’ellipse ; on l’appelle polaire du point

Pour construire cette polaire TT', on cherche les points où elle ren- . contre les axes.

y = O donne x = — = OR ;