Si le point M est sur le grand axe, on a p ; donc
équation qui représente une perpendiculaire au grand axe. Ainsi , la polaire (Viin i>oint situé sur l’un des axes est perpendiculaire à cet axe. ■
Si le point (a, p) est le foyer F, on a a = c, puis x = — ; donc
lapolmre d’un foyer est la directrice correspondante.
240. Rencontre d’une droite avec l’ellipse. — Les équations de ces deux lignes sont
^5 yj | J.J ^ fplji y
mx
elles donnent , par l’élimination de j,
(a’ n? b’] x’’ 2rt’ mpx -f ( p’ — A’ ) = o.
Cette équation aura ses racines réelles si l’on a n’m’p'‘—{p’ — è’ ) (fl’ 7/j’ -i- A’) > O, ou />’<«’ /w’ i’. Lorsque cotte condition est vérifiée, la droite est sécante. Dans le
4îo GÉOMÉTRIE
cas de > rt’ /w’ -+- 6% la droite est extérieure à l’ellipse. Enfin
J- = mx ± / fl’ 7w’ -1- />’
représente deux tangentes à l’ellipse. Cette équation est très-conbmode pour résoudre certains problèmes.
241 . Equation de la normale. — La normale en un point d’une courbe étant la perpendiculaire à la tangente en ce point (439), la normale au point (x', y) sera représentée -par
les axes étant rectangulaires : s’ils étaient obliques , l’équation serait plus compliquée. L’équation de la normale à l’ellipse est donc
On y doit joindre la relation
+ é’x” = fl’6’. (a)
Le coefficient angulaire de la nor-
male MN étant > on voit que pour
tous les points de l’arc AB, l’angle MNx est aigu ; etc.'
242. Expression 'de la sous-normale. — Pour avoir la sous-normale NP, il suffit de prendre la valeur de x' — x répondant à
^ = O. On trouve ainsi NP = — j- • Cette quantité , nulle pour
x' = O, c’est-à-dire pour le sommet B, croît avecx'; et pour x’= a,
elle se réduit à — • Ainsi , à mesure que le point M se rapproche
du sommet A, le pied de la normale se rapproche du point C, dis-
tant de ce sommet d’une quantité égale à — • On trouverait de
même que la limite des 'points de rencontre des normales avec le petit axe est un point situé au-dessous du grand axe, à une
distance du sommet B égale à y- .
243. Problème. — Mener à VeUipse une normale parallèle à une droite donnée.
L’équation (i) peut s’écrire ;
Si l’on veut que la normale soit parallèle à une droite dont le coefficient angulaire est /w, il faudra que l’on ait = m. Cette
relation, jointe à l’équation (2) , donne y' =±z —====•
y rt’ -1- b‘‘ ni‘
Substituant dans l’équation (i), on obtient cette forme particulière de l’équation de la normale :
y — mx 3: ■ — •
On voit qu’il y a toujours deux normales parallèles à une direction donnée.
244. Théorème. — La normale MN en un point de l'ellipse divise en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs menés à ce jmint.
Pour démontrer cette propriété , il suffit de vérifier la proportion
F'M F'N MF ~ NF ■
Or,F'M=5'=a+-x', FM=^=a-î.r'; ’ a a
et, d’un autre côté, en faisant y=o dans l’équation (i) de la
normale, on obtient
cr ce
Par suite , la proportion ci-dessus se réduit à l’identité
■iTV
245. Corollaire. — Im tangente MT divise en deux parties égales V angle FMG forme par l’un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre.
Cette propriété caractéristique de l’ellipse peut être démontrée géométriquement. En effet, si nous prenons sur la tangente MT un point quelconque M' différent du point de contact M, nous aurons, puisque ce point est extérieur à la courbe ,
d’où F' M -I- MF < F' M' + M' F.
Ainsi , le point de contact M doit être situé sur la tangente MT, de manière que la somme des distances de ce point aux deux points • fixes F et F' soit un minimum, etc.
246. Construction, au moyen des foyers, de la tangente à l'ellipse. Supposons que l’on veuille mener une tangente par un point
extérieur M. Soit T le point de contact inconnu. Menons F' T, FT, et abaissons FPG perpendiculaire sur MT. A cause de l’égalité des angles FTP, GTP, MT est perpendiculaire sur le milieu de FG ; donc
MG = MF, TG = TF; puis F'G = F'T + TF = 2fl.
Si donc, du point M comme centre, avec MF pour rayon , nous décrivons une circonférence , et que du foyer F' comme centre, avec ia pour rayon, nous décrivions une autre circonférence, le point G devra se trouver à l’intersection de ces deux lignes.
2i7. Pour que les circonférences se coupent, on doit avoir :
i". F'M < 2(7 -|- FM,
2°. F'M>2a — FM ou F'M>FM — 2«,
suivant que FM sera < 2a ou > 2/7.
La première condition est toujours satisfaite, car le triangle F' MF donne F'M < 2c 4- FM. Quant à la seconde, elle est vérifiée seulement quand le point M est extérieur.
Dans ce dernier cas , les deux circonférences st; couperont donc
en (leux points G, G' symétriquement placés par rapport à F'M. Pour avoir les tangentes , il siifBra d’abaisser MT, MT' perpendiculaires sur FG, FG'; de plus, si l’on mène F’ G, F' G', on obtiendra les points de contact T, T'. D’après cette construction , on peut obtenir la tangente et les points de contact sans que l'ellipse soit tracée.
248. Remarques. — I. Si nous menons OP, cette droite, passant par les milieux de F' F et de FG, sera égale à la moitié de F' G; donc OP = a ; le lieu des projections P -du foyer F sur les tangentes à l'ellipse , est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.
II. Les deux droites F' G, F' G' sont symétriques par rapport à F'M; donc le rayon -vecteur mené au point de concours de deux tangentes , divise en deux parties égales V angle formé par les rayons vecteurs menés aux points de contact.
