V. La somme de ces côtés œt constante

3". Le quadrilatère MNPQ est circonscrit à une ellipse homofocale avec l’ellipse donnée.

XI. Si , par nn point M , on abaisse quatre normales sur une ellipse donnée, les pieds A, B, G de trois de ces normales et le point D', diamétralement opposé au pied D de la quatrième, sont situés sur une métne circonférence. ( Théorème de Joacbimsthal. )

XIL Construire une ellipse, connaissant un foyer et trois tangentes.

XIII. Lieu du sommet d’un angle droit dont les côtés sont normaux à une ellipse donnée.

if — ô’ ô’ cos’ w — fl’ sin’ w if cos’ » -h fl’ sin’ w

?ÜV. Lieu décrit par le foyer d’une ellipse donnée, continuellement tangente à deux droites rectangulaires données.

Équation du lieu: — ô’)’x’-I-(x’ — 4 c’x’j»’.

Équation du lieu

Cordes supplémentiüres.

349. On appelle cordes supplémentaires celles qui joignent un point de l’ellipse aux extrémités d’un même diamètre.

Il existe une relation simple entre les inclinaisons 7, 7' de deux cordes supplémentaires quelconques MC, MC'.

En effet, en appelant x', j' les coordonnées du point M, ettt^', celles du point C , on aura ‘

0 ix a:

tang7 =

Pour avoir tang7', il suffit évidemment de changer x" et " en — x", —j"; donc

On déduit, de ces valeurs,

tang7tang7'= ^,r—ÿy

4'26 GÉOMÉTRl-E

Mais l’équation de l’ellipse donne

puis + = o;

donc

tang7tangv' = - (i)

Cette relation est indépendante de la position du point M et de la direction du diamètre CD. On en déduit facilement que si, par les extrémités d’un diamètre, on mène des parallèles à deux cordes supplémentaires , ces parallèles se couperont-sur la courbe, et seront aussi des cordes supplémentaires.

S50. La relation (i) est la même que celle qui existe entre les directions d’une tangente et du diamètre mené au point de contact. Donc, si une corde est parallèle a une tangente, la corde supplémentaire est parallèle au diamètre mené par le point de contact.

De cette remarque résulte très-aisément le moyen de mener une tangente en un point donné de l'ellipse , ou une tangente parallèle à une droite donnée.

251 . Angle formé par deux cordes supplémentaires. — D’après la remarque ci-dessus (349), nous pouvons supposer que ces

cordes passent par les extrémités du grand axe.

En appelant x, y les coordonnées du point M, nous aurons

tangv =

tangy' =

puis

tangM = tang(v — 7') =

■xar

Mais, le point M étant sur l’ellipse, x' — a’ = ^ ; donc

lab'

tangM =

•xa

Il résulte, de cette valeur, que le maximum de l’angle M répond au cas où le point M se confond avec le sommet B.

ANALYTIQUE. ^-iTj

232. Si l’on veut trouver un système de cordes supplémentaires formant entre elles un angle V, on devra décrire sur AA' un arc capable de l’angle V, et joindre les sommets A et A' aux points où l’arc coupe ABA'. problème est impossible si l’angle V dépasse le maximum qui vient d’être indiqué.

EXERCICES

I. Construire, avec la règle et le compas, les points d’intersections d’une ellipse et d’une circonférence passant par les extrémités d’un diamètre.

II. Parmi tous les parallélogrammes de même périmètre , inscrits à une ellipse donnée , lequel est le plus grand en surface? Entre quelles limites le périmètre donné doit-il être compris?

Diamètres oonJug:tiés.

233. Equation des diamètres. — L’éqûation de l’ellipse étant toujours rPj’4- lè = cPù’, soit y = mx -f- a l’équation qui représente une série de cordes parallèles entre elles. Le diamètre de ces cordes aura pour équation c^y.m -\~b^x = o\x

Ainsi , tous les diamètres passent par le centre-, ce que nous savions déjà (199).