OC

pour x' = O, y"‘= j- - = OD .

«•sin’x 4- é- cos a

Par conséquent, les formules qui déterminent les longueurs n', 1/

des demi-diamètres conjugués OC , OD, sont

a’sin’ a + i’cos’ct ’ /

sin’ a' -h b‘‘ cos’ a'

On doit toujours joindre à ces formules la relation (3).

Si nous introduisons les valeurs (4) dans l’équation (a), elle deviendra

2S9. Diamètres conjugués égaux. — Cherchons si l’on peut avoir «' = b'. Celte condition entraîne la suivante :

à‘ sin’ a + cos’ a = a’ sin’ a' -J- COS’ a'; d’où a’ ( sin’ a — sin’ a' ) + 6’ ( COS’ a — cos’ a' ) = p , puis (n’ — fc’) (sin’a — sin’a') = O :

a est différent de b , donc

' sin a = dz sin a'.

On ne peut pas prendre le signe inférieur, parce que les angles a, a' peuvent être supposés moindres que i8o“. Ils sont donc

supplémentaires; et comme tanga langa' = —

tang a = -f- - , tang a'

Par conséquent, reUipse a un seul système de diamètres conjugués égaux ^ lesquels coïncident en direction avec les diagonales du rectangle circonscrit.

Chacun de ces diamètres a pour longueur i.

Théorème* d’ApolIoniu*.

260. Tiiéobème I. — Ix parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques est équivalent au rectangle des axes.

43o GÉOMÉTRIE

Le parallélogramme MNPQ a pour mesure art'.ai»'sin(a'— a). Le rectangle GHlKa pour mesure ‘xa.%b\ il suffit donc, pour démontrer le théorème , de vérifier l’équation

rt'6'sin(a'— a) = ai. (i)

Or, les équations ( 4 ) donnent

i^cos^a cos^a'-+-o‘sin’^a sin*«'-|-a’i^{sin’a cos’a'+sin’a'cos^a)

Pour simplifier le dénominateur, faisons usage de l’équation (3): elle donne

sin’ a siii’ a' + i* cos’ a cos’ a = — 2 a’ i’ sin a sin a' cos a cos a' ; donc a'’i” =

— 2 sin a sin a' cos a cos a' -|- sin’ a cos’ a' -f- sin’ a' cos’ a a’ i’ a’

, . 5 etc.

(sinacosa'— sina'cosa)’ sin’(a — a')

261. Théorème II. — Lu somme des carrés de deux diamètres conjugués qtælconques est équivalente à la somme des carrés des

axes.

Pour démontrer que a” + i” = a’ + i’, il suffit évidemment d’éliminer a et a' entre les équations ( 3) et (4)- La première des équations (4 ) donne , si l’on chasse les dénominateurs et que l’on divise par cos’ a ,

a’i’(i -I- tang’a) = a’ a'’ tang’a.

d’où

tang’a = -

On trouverait, de la même manière,

Multipliant membre à membre, et égalant le produit à ^ > on obtient, successivement,

ANALYTIQUE. 43i

262. Les théorèmes d’Apollonius peuvent être démontrés plus simplement, comme il suit :

Soient , dans le demi-cercle ACB, OD et OE de’ux rayons conjugués , c’est-à-dire perpendiculaires entre eux. Si nous diminuons les ordonnées de la figure dans un rapport donné, la demi-circonférence sera transformée en une demi-ellipse AC' B (217), et les rayons OD, OE deviendront, dans cette demi-ellipse, deux rayons conjugués OD', OE' (*).

i“. Posons OA = a, OC'=é, OD'=a', OE’ = b' ; nous aurons, à cause des deux triangles rectangles OGD, EHO égaujc entre eux ,

n'^ = ÔG V GD'’ = ÔgV ^ Gd’,

2 fp 2 2 A2