CG = -OH, BH = -OG

fl fl

puis, dans les deux triangles semblables CBG , OBH,

OB = ÔH’ ® = “r

Cette valeur de 4^'donne ' . *'•

M ^ ^ fl fl + Ô ^IDE

RE , ,h ~ a — b OE a — a a

Donc Or est la bissectrice de l’angle des diamètres conjugués.

âfô. Remarquas. — 1. La tangente aü point G de l’ellipse serait parallèle au diamètre AEl, conjugué de CD; donc EGF esl la normale en G. Nous alons trouvé , pour la valeur du segment compris entre l’ellipse et le grand axe,

CR = fl'-* -

n. En prolongeant cette normale jusqu’à sa rencontre avec la direction du petit axe, on trouverait CQ = donc CR.CQ = a'’:

le rectangle des segments déterminés par les axes sur une normale à l’ellipse est équivalent au carré du demi-diamètre perpendiculaire h la normale.

III. Soit CP le segment intercepté sur la normale par le diamètre AB; nous aurons, par le second théorème d’Apollonius-,

CP = ^; donc CP.CR = ^

Ainsi, le rectangle des segments déterminés sfèr uyiè normale, par le diamètre qui lui est perpendiculaire et'^ar l’un des axes, est équivalent au carré de la moitié de l’autre' axe.

IV. Si l’on construit une ellipse ayant aa jbur grdipd axe et les points E, F pour foyers, cette courbe passem pitJ^JefWntrc O de l’autre ellipse, et aura pour tangente en celpolnf^pciit tuce de celle-ci : les doux ellipses sont donc, pour ainsi dire, conjuguées.

266. Autres propriétés. — Les théorèmes démontrés dans le cas de l’ellipse rapportée à ses axes, subsistent pour l’ellipse rapportée à des diamètres conjugués, pourvu que ces thi^rèmes soient indépendants de l’angle des axes. Ainsi : ‘ L *

i”. Selon qu’un point est sur l’ellipse, extérieur à l’ellipse, ou intérieur à l’ellipse, la fonction a''’y^ + b'^ x' — a"b'l est nulle, positive o^|né»i|p^

a“. tèâ Srr^desiordonnées parallèlea.4^un diamètre sont entre eux.lpmnîe Ife ^cUngles des segments correspondants déterminés sur^n conjj^^.«

3°. L!ëqliat|}on de la tangente, en un point (•*', jf'), est a'-’yy'-\-b"xx'=a"y\

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4“. La relalioii entre les coefficients angulaires /« et /«' de deux diamètres conjugués quelconques est ,

mm = —

et cette relation subsisté pour une tangente et le diamètre mené au point de contact, et encore pour deux cordes supplémentaires quelconques. Seulement, m et m' ne sont plus des tangentes, mais bien des rapports de sinus.

267. Problème. — ConnaissaHt deux diamètres conjugués, construire l’ellipse.

Soient CC', DD' ces deux diamètres. Menons BB' perpendiculaire à CC' et égale à DD'; traçons l’ellipse dont CC' et DD' seraient les axes. Prenons ensuite un point M sur cette courbe; abaissons l’ordon'née MP; menons PM' parallèle à DD' et égale à MP : le point M' • ^ appartiendra évidemment à l’ellipse cherchée.

268. Pour sirçi^ificr cette construction, décrivons sur CC' une circonféreftee ; mencyas EOE' perpendiculaire à CC'; joignons les points E, E' extrémités D, D' du second diamètre donné.

Si nous mepgns' enfile les ordonnées MN, RS,..., du cercle, puis que, par Jès^ points jf, nous menions M'N', R' S',..., ces

droites, c6<ljj^')kif MM', RR',..., parallèles à ED, donneront .les points M^'B',. \. .

269. Problème. — Constndre une ellipse, connaissant un diamètre CC', la direction de son conjugué DD' et un jwint M' de la courbe. Ce problème ne diffère du précédent qu’en ce que le point D, extrémité^ du diamètre DD', est remplacé par le point M'.

BXSKCXOES.

I. Théorème. — Le rectangle des segmenm^qR^inés sûiiune tangente à l’ellipse, par deux diamètres conjugti^qtM»lcoftques, est équivalent*iyi carré' du demi-diamètre parallèle & la tangente.