II. Théorème.'— Le parallélogramme construit sur deux dia

mètres de l’ellipse est équivalent au parallélogramme construit sur les diamètres respectivement conjugués. ■

ni. Théorème. — Le rectangle des distances de deux diamètres conjugués, à un point de l’ellipse, est équivalent au rectangle de leurs distances au point conjugué du premier. (C’est-à-dire situé à l’extrémité du diamètre conjugué de celui qui passe par le premier point. )

IV. Théorème. — La somme des carrés des perpendiculaires abaissées sur un même diamètre, des extrémités de deux diamètres conjugués, est constante-.

V. Lieu des sommets des ellipses qui ont un diamètre donné de grandeur et de position , et son conjugué , donné de grandeur seulement.

Equation du lieu :

té — ( -1- cos’ w) tt’ -1- rt’ (a* -I- 6’ ) cos’ w = O.

VI. Lieu de la projection d’un point de l’ellipse sur le diamètre conjugué de celui qui passe par ce point.

Equation du lieu:

c’sinwcosw

\'<é sin’ w -|- lé cos’ w

VIL Pourquoi ce lieu est-il identique avec le lieu dos projections du centre sur les normales?

Quadrature de l’elHpse.

270. Considérons d’abord un segment PQRS et le segment correspondant du cercle décrit sur le grand axe comme diamètre.

Dans l’arc PQ, inscrivons une ligne brisée, prolongeons les ordonnées de ses sommets jusqu!à ce qu’elles rencontrent l’arc P'Q', et prenons les points ainsi obtenus jwur ^sommets d’une ligne brisée corrcspondafîte , "inscrite dans le cercle. Il est facile é^vbiiHîque deux trapèzes correspondantsfcjtiüiiçünqties , respectivement situés dans le cercle et dans l’ellipse, sont entre eux dans le rapport de a k b. Conséquemment leurs sommes, et par suite les limites de leurs sommes, sont dans le même rapport.

Donc, en appelant S l’aire du segment elliptique et S' l’aire du segment circulaire correspondant, on aura aussi S b S'

271. S’il s’agit de l’ellipse entière, soit E son aire, C étant celle

du cercle : on aura E = C - ; mais C = tt a’ ; donc E = 7r«è. Ainsi,

Vairc de l’ellipse est moyenne proportionnelle entre les aires des cercles décrits sur les deux axes comme diamètres.

272. On arrive à des conséquences tout à fait semblables quand on considère une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués.