Troisième méthode. — On

tire, de' l’équation (a).

en appelant x' l’abscisse du point 1 do l’asymptote si tué , avec le point cherché M , sur une même parallèle LM à l’axe transverse. Si donc on prend , sur l’axe non transverse, OE = x'= LI, et que l’on porte la distance EA de L en M et de L en M', les points M , M' appartiennent à l’hyperbole.

280. 1°. Dans Thjperbole, les carrés des ordonnées perpendiculaires à Taxe transverse sont entre eux comme les rectangles des segments correspondants formés sur cet axej 2“ la distance du centre à un point de l'hyperbole augmente indéfiniment avec T abscisse de ce point (214).

281 . Condition i>our qu’un point soit extérieur ou intérieur à T hyperbole. — Selon qu’un point est sur l’hyperbole, extérieur à l’hyperbole (c’est-à-dire entre les deux branches) ou intérieur à

l’hyperbolo , la fonction b'‘ x‘ + d‘ h‘ est nulle, jMsUivc ou

négative.

Soit le point M, extérieur à l’hyperbole. Menons, par ce jwint, une parallèle à l’axe transverse ; elle rencontrera l’hyperbole au point M', pour lequel on aura

rt’jr’ — x” a'b^ = O.

^ Or, l’abscisse x du point M est moindre que l’abscisse x' du point M'; donc

rt’ — A’ x’ rt’ > O ; etc.

EXERCICES

I. Par un point donné C , on mène une transversale quelconque, qui rencontre aux points A, B les côtés d’un angle droit donné. On construit le triangle AMB, semblable à un triangle donné. Quel est le lieu du point M?

Réjwnsc ; Une hyperbole.

II. D’un point fixe A, on mène, à deux droites fixes B, C, un rayon vecteur quelconque kbc\ on prend AM = \/kb.kc\ quel est le lieu du point M?

Réponse : Une hyperbole.

Be* foyers et des directrices. ^

282. En répétant les raisonnements et les calculs qui ont été

faits à propos de l’ellipse (218-223), on arrive aux conclusions suivantes :

i". JJ hyperbole a deux foyers F, F', situés sur l’axe transverse, de part et d’autre du centre, à une distance c égale à ^ a’ b’’ •

‘1°. Les distances d’un j)oint quelconque. M de l’hyperbole aux foyers F', F, sont, 'Respectivement,

5'= ± (îx-t-rt)) rî = ±^^X-«^ (*).

rAl

Is'

* (*) Dans CCS formules , on prendra les signes supérieurs ou les signes

44o GÉOMÉTRIE

3“. Dans Vhypcrhole, la différence des rayons vecteurs menés de chaque point aux deux fojers est constante et égale h l'axe transversc.

4®. Aux deux foyers correspondent deux directrices, représen-

tées par x = ± — •

5“. Le rapport des distances de cluique jx>int de la courbe au foyer et à la directrice correspondante est constant; etc.

283. Remarque. — La propriété relative à la différence des rayons vecteurs (282, 3°) appartient exclusivement à l’hyperbole; c’est-à-dire que : i“ quand un point est intérieur à l’hyperbole, la différence de scs distances aux deux foyers surpasse F axe transverse ; 1° quand un point est extérieur èi V hyperbole, la difféivnce de ses distances aux deux foyers est moindre que l’axe transverse.

1°. Le point M étant intérieur à l’hyperbole, prolongeons le rayon vecteur FM jusqu’à sa rencontre avec la courbe , en w , et menons F' m. Nous aurons

F'M>F'//J- »iM;

d’où , en ajoutant membre à membre , et réduisant,

F'M-FM>a«.

a®. Dans le cas d’un point extérieur M', la même construction donne

F' /M — WJ F = a a,

F'M'<F'/ji-|-M'/w; donc F' M' — FM' <C a o.

284. Soit CDC'D' le rectangle construit sur les deux axes. Nous

aurons OC = VaO^-1- AC = \/ a’ -y = c. Donc, pour construire

les foyers , il suffit de délire , du point O comme centre , les deux arcs CF, C'F'. - w

inférieurs , suivant que lé point M appartient à la branche de droite ou à la branche 4c gauche, c'est-à-dire suivant que l'abscisse x du ce point est’posilive ou négative.

ANALYTIQUE. 44i

285. Le pied P de la perpendiculaire FP abaissée du foyer sur Vasyniptole GH appartient à la directrice.

En effet, les deux triangles rectangles CAO, FPO sont égaux, coname ayant l’angle O commun, et les hypoténuses OC, OF égales. Par suite, si l’on abaisse PL perpendiculaire à l’a.xe trans-

ÔP’ ÔA ^

verse, on aura OL = = — • Donc, etc.

Ob OC c

286. Construction de l’hyperlwle , au moyen des foyers. — Prenons , sur l’axe transverse , un point quelconque E ; du foyer F' comme centre, avec A'E pour rayon, traçons un arc de cercle; du foyer F, avec AE pour rayon, traçons un arc qui coupe le premier en M : le point M appartiendra à l’hyperbole.

La différence des rayons étant moindre que F' F, il suffit, pour que les circonférences se coupent , que l’on ait