A'E-|-AE> F F

Or, A'E = A'A + AE, FF'= A'A + aAF;

en sorte que l’inégalité devient aAE > a AF, ce qui exige que le

point E soit pris au delà du foyer F.

287. Pour décrire la courbe d’un mouvement continu , on fixe une régie au foyer F', de façon qu’elle puisse tourner autour do ce point; on attache l’une des extrémités d'un fil au foyer F et l’autre extrémité en un point I de la règle. Si ensuite on fait glisser une pointe le long de la règle, on tendant le fil , elle décrira un arc d’hyperbole.

EXERCICES

I. Construire une hyperbole , connaissant la somme des axes et les foyers.

IL On donne une infinité d’hyperboles ayant même sommet réel A et même sommet imaginaire B. On demande :

i". Quel est le lieu des centres de toutes cès hyperboles;

'a". Quel est le lieu de leurs seconds sommets réels;

3“. Quel est le lieu de leurs seconds sommets imaginaires;.

4". Quel est le lieu de leurs foyers.

III. Par un point C, donné sur une ellipse Afi, on fait passer une circonférence quelconque, tangente en ce point à l’ellipse. On mène les deux tangentes communes DE , FG. Quel est le lieu des points de rencontre M? (Concours général , i844- )

Réponse : Le lieu est une hyperbole homofocale avec l’ellipse donnée.

Tangente et normale.

288. La tangente en un point [x\ y') de l’hyperbole sera déterminée par l’ensemble des deux équations :

téy'^ — x'’ = — à‘b\ [\)

n‘‘yy' — = — a^b^. (a)

289. Lti tangente a tous ses points en dehors de V hyperbole; c’est-à-dire que les coordonnées d’un point quelconque de cette droite vérifient la relation

Tirons, de l’équation (a), la valeur de nous aurons

y aV'’ ’

ou, en ayant égani à l’équation (i),

b*{xx' — a^Y

Au moyen de cette valeur, l’inégalité (3) devient b ixx' — a^Y , ,,,

Celle-ci se réduit à

(xx'~ a’)’-4-(a’- x’) (x'’-a’)> O, ou enfin , à (^x — x')’ > o ; etc.

290. Cherchons comment varie la tangente , quand le point de contact s’éloigne indéfiniment sur la courbe; et, pour cela, mettons l’équation de cette droite sous la forme

i". Quand.) ' augmente indéfiniment, le terme — p’ c’est-àdire l’ordonnée à l’origine, converge vers zéro.

JC*

a". Le coefficient angulaire, présente sous forme indé-

terminée, quand on suppose .r' et j' infinis en même temps. Mais b\v' bx' b

et il est évident que cette dernière fraction a pour limite ± -•

Par conséquent , lorsque le point de contact s’éloigne indéfiniment sur la courbe, la tangente tend à se confondre avec l’asymptote ( * ).

291. Rcmnnjues. — I. On a, entre les coefficients angulaires d’une tangente et du diamètre mené au point de contact, la rcla- - ' •>. .

tiojT tïing a tang a' = 4- — ( 236 ).

II. En appelant V l’angle ftyraé par une tangente avec le diamètre mené au point de cootàct’on trouve (236)

L’angle V, qui est droit pour r'= o, diminue indéfiniment jusqu’à zéro, à mesure que j' et x' augmentent.

292. Problème. — Mener h l ’hyjwrbole une tangente par un point extérieur (a, p).

Les coordonnées x', y' du point de contact seront déterminées par les deux équations

a'^Py' b‘‘ oLx' = — a’^fp. (2)

L’élimination de J ' donne

(rt’P — 2rt’A’ax' — = o. (3)

(*) Cette propriété est générale : l’ayrmptole à une courbe coïncide arec la limite des positions d’une tangente dont le point de contact s’éloigne indéjiniment. Nous engageons les élèves à rhcrcher une démonstration de PC théorème.

Pour que le problème soit possible , il faut que cette équation ait ses racines réelles , ou que l’on ait

6* 4- ( P’ — iz’) { -j- ) > O.

Cette condition se réduisant à a’ p^ — 6’ a’ + «’ 6’ > o , exprime , comme on devait s’y attendre, que le point (a, p) est extérieur à l’hyperbole.

293. Lorsque l’équation ( 3 ) aura ses racines réelles , elles seront de signes contraires ou de même signe , suivant que le coefj^ient de .r" sera positif ou négatif. Nous pouvons supposer, sans nuire à la généralité des conclusions, que le point (a, p ) soit placé dans

l’angle des coordonnées positives. Alors la relation a’ — è’a’ ^ o

se réduit à - ^ • a.<.a

Le premier membre de cette dernière inégalité est le coefficient angulaire de la droite menée du centre au point (a, p), que le second est le coefficient de l’asymptote située dans l’angle des coordonnées positives. Constoemment, l’équation (3) aura ses deux racines de signes confvfflte ou ses deux racines positives, selon que le point (a, ^ - dessus ou au-dessous de

cette asymptote. En d’autres ^rmés ; Les points de contact des tangentes menées h une hyperbole, par un point extérieur, sont ou ne sont pas situés sur la même branche, suivant que le point donné est ou n’est pas dans l’espace compris entre la courbe et les asymptotes.

Si le point donné est sur une asymptote. Tune des racines de l’équation (3) devient infinie. 11 est clair en effet que , dans ce cas. Tune des deux tangentes se confond avec l’asymptote , et que le point de contact s’est éloigné indéfiniment.

294. Problème. — Mènera V hyperbole une tangente parallèle h une droite donnée.

Soit m le coefficient angulaire de la droite donnée et de la tangente cherchée : l’équation do cette dernière droite sera (240)

y = mx ± y/fl’ né — é’.

Le problème ne sera possible que si Ton a ^ 5 c’est-à-dire si la parallèle h la droite donnée, menée jmr le centre de l’hy-

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perbolc, tombe dans l’un des angles formés par l’axe non transvet-se et les asymptotes. Quand cette condition sera satisfaite , il y aura deux tangentes satisfaisant à la question.

295. Théorème. — La tangente en un point de l’hyperbole divise, en deux parties égales, l’angle des rayons vecteurs menés h ce point.

Cette proposition , qui résulte du calcul du n“ 244 , peut aussi être démontrée comme il suit :

Prenons sur la tangente MT un point quelconque m différent du point de contact M. Nous aurons

F'/« — /wF < aa; d’ailleurs, *' F'M — MF=a«,

donc F' /« - TO F < F' M - MF.

Ainsi, le point de contact M doit être situé, sur la tangente MT, de telle sorte que la différence des distances F'M, FM, soit un maximum. Cette dernière condition exige, comme on sait, que les angles F' MT, FMT soient égaux; donc, etc.

296. Construction, au moyen des foyers, de la tangente à l’hy-

'perbole-. — T étant le point duquel on veut mener une tangente à l’hy-

* pefbole, on doit : i° du point T, comme centre, décrire une circonférence passant au foyer F ; a" du foyer F' comme centre , avec a fl pour rayon, décrire une nouvelle circonférence ; 3° joindre le point de rencontre G de ces deux circonférences avec le foyer F', par la droite F' GM; des points F, G décrire, d’une môme ouverture de compas, des arcs se coupant en S, etc. (246).