Pour que le point G existe, il faut que l’on ait
1». F'T<aa-t-FT,
a°. F'T>aa-FT ou >FT-afl,
selon que FE sera < aa ou > a«.
La première inégalité est vérifiée quand le point T est extérieur.
Il en est de même pour la troisième. Quant à la deuxième, elle a toujours lieu , attendu que le triangle F' TF donne F' T FT > 2 c
et, à plus forte raison, F'T -t- FT >
298. La construction de la tangente à l’hyperbole donne lieu aux observations que nous avons faites à propos de la tangente à l’ellipse. Ainsi , ù'eu des projections P du foyer sur les tangentes à l’hyperbole est la circonférence décrite sur l’axe transverse comme diamètre , etc.
EXERCICES
I. On donne une infinité de sections coniques homofocales (*), et un point situé dans leur plan ; et l’on demande :
i“. Quel est le lieu géométrique des points de contact des tangentes menées à ces courbes , par le point donné ;
2°. Quel est le lieu géométrique des pieds des normales menées à ces courbes, par le point donné;
3“. Quel est le lieu géométrique des perpendiculaires abaissées, du point donné, sur les cordes de contact. (Concours général, 1840.)
n. On donne une hyperbole équilatère , et l’on demande le lieu des points tels , que de chacun d’eux on puisse mener trois normales à cette courbe.
III. Si, par un point A, pris sur- une courbe du second ordre, on mène deux cordes AB, AC perpendiculaires entre elles, la corde BC passera par un point fixe , situé sur la normale en A. ( Théorème de M. Frégier.)
Cordes supplémentaires.
299. On appelle cordes supplémentaires, dans l’hyperbole, celles qui joignent un jx>int de la coilrbe aux extrémités d’un diamètre transverse.
Si 7 et 7' représentent les inclinaisons de ces deux cordes sur
IP
l’axe transverse, on aura tang7 tang7'= etc. (249).
300. Relativement à l’angle M formé par deux cordes supplémentaires, observons que, dans le cas de l’ellipse, nous avons
(*) C’est-à-dire une infinité d’eilipses et d’hyperboles ayantles mêmes foyers.
trouvé tang M = —
(2SI); donc, pour l’hyperbole,
tangM
T.aU' c‘ y
Si le point M, d’abord supposé confondu avec le sommet A, s’éloigne de plus en plus sur la courbe , l’ordonnée y variera de zéro à l’infini , et d’après la valeur précédente, l’angle M, d’abord droit, diminuera indéfiniment. Nous n’avons donc pas, comme dans le cas de l’ellipse, une limite pour r«ngle formé par deux cordes supplémentaires, et contrairement à ce qui arrive pour cette dernière courbe , il est toujours possible de trouver deux cordes supplémentaires formant entre elles un angle donné V (252).
Diamètres cos^ugués.
301 . La relation entre les directions de deux diamètres conju-
gués de l’hyperbole est mm' = ^ (254).
Il est bon d’observer que si un diamètre rencontre la courbe, son conjugué ne la rencontre pas. En effet , soient y = mx et y — m' X les équations de ces deux droites. Si m est moindre
que alors, par compensation, m' est plus grand que donc
le premier diamètre rencontre l’hyperbole et l’autre ne la rencontre pas.
302. Observons encore que si le coefficient m , d’abord supposé
moindre que ^ > tend vers cette limite , il en sera de môme pour
le coefficient m' ; donc la limite commune des directions de deux diamètres conjugués est l’asymptote.
303i Lieu des extrémités des diamètres qui ne rencontrent pas l’hyperbole. — Si nous combinons les équations
a’y’— bx’ =— d’h’, (i) y—mx, (i)
m étant supposé plus grand que nous trouverons, pour x et
pour J, des valeurs de la forme p y/— i . Posons donc
x = xV— I, j=rV— G
d’où — b' x' ^ . (3)
Pour une valeur particulière attribuée à m , les équations ( a ) et { 3 ) donneront deux valeurs réelles de x' et deux valeurs réelles de y'. Chacun des points ainsi obtenu est ce qu’ou appelle Vextrémité d'un diamètre non transverse. Le lieu de ces extrémités, représenté par l’équation ( 3 ), est l'hyperbole conjuguée de l'hyperbole primitive. On voit , par la comparaison des équations (3) et (i), que ces deux courbes ont mêmes asymptotes, que les sommets réels de Pune sont les sommets imaginaires de P autre, etc.
30 i. Hyperbole rapportée à des diamètres conjugués. — L’équation sera (2S8)
Quant aux longueurs des demi-diamètres, elles seront données par les formules
a' sin’ a — b' cos’ « f
fl’ sin’ a'*— o’ cos’ a' J
que l’on déduit de celles du n“ 238, en changeant b' en — b' et è” en — i”.
Enfin , les angles ce et a' sont liés par l'équation
tanga tanga = (2)
303. Les formules ( i ) et ( 2 ) conduisent au deux théorèmes d’Apollonius ( 260 , 261 ) :
1°. Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques est équivalent au rectangle des axes.
(") Dans cette équation , a' représente le demi-diamètre transverse , et V le demi- diamètre non transverÿe, rendu réel. En .conservant les notations du niiinéro précédent, on aurait
ANALYTIQUE. 44g
La différence des carres de deux diamètres conjugués quelconques est équivalente à la différence des carrés des axes.
Ces théorèmes sont exprimés par les équations
fl'6'sin(a' — ix) = ab, (3) — b'^ = d‘ — b^, (4)
lesquelles peuvent tenir lieu des formules (i).
306. L’équation (4) prouve que: 1° dans une hyperbole non cquilatère, il n’y a pas de diamètres conjugués égaux ; 1.° dans une hyperbole équilatère, deux diamètres conjugués quelconques sont égaux.
Dans ce dernier cas d’une hyperbole équilatère , les angles a, a' formés avec l’axe transverse par deux diamètres conjugués quelconques sont complémentaires. En effet , la relation ( 2 ) devient
tang a tang «' = i , d’où tang a' = cot «.
307. Les propriétés que nous avons déduites de l’ellipse rapportées à un système de diamètres conjugués (266) subsistent, sauf quelques modifications, pour l’hyperbole.
Asymptote*.
