Appelons y l’ordonnée El et y' l’ordonnée E'I. Nous
aurons
EE' = /'-/, EF' = j'4-j;
puis
EE'.EF' = j” — j’.
Or
donc
EE'.EF'= b'\
Ainsi le rectangle des segments d’une sécante, compris entre les asymptotes et un jjoint de la courbe , est équivalent au carré du demi-diamètre parallèle à cette sécante.
3H. Les propriétés qui viennent d’être démontrées permettent de résoudre très-aisément les problèmes dont voici les énoncés :
1®. Connaissant les asymptotes et un point de l’hyperbole , décrire la courbe par points ;
1°. Construire une hyperbole, connaissant une asymptote ettrois points;
3°. Construire la tangente en un point donné sur l’hyperbole
4”. Connaissant les asymptotes et un point, construire, en di-^ rection et en grandeur, les axes de l’hyperbole ;
5°. Connaissant un système de diamètres conjugués, construireles axes, etc.
312. Par le point A, extrémité d’un diamètre transverse quelconque, menons AM, AN parallèles au.x asymptotes. A cause de AC = AD, nous aérons OM = MD et ON = NC; donc le parallélogramme AMON sera la moitié du triangle DOC, ou le huitième du parallélogramme CDC'D'. Conséquemment, d’après le premier des deux théorèmes d’Apollonius , le parallélogramme fonné par les asyrrqrtotcs et les parallèles h ces droites menées par un /Miint de la cour be , est équivalent au huitième du rectangle des axes.
EXEKCXCES.
I. Théorème. — Dans l’hyperbole , toute corde divise en deux parties égales la portion d’asymptote comprise entre les tangentes menées par les extrémités de cette corde.
n. Les côtés d’un angle tournent respectivement autour de deux points fixes, de manière à intercepter, sur une droite fixe, un segment de grandeur donnée. Quel est le lieu décrit par le sommet de l’angle?
in. Connaissant une asymptote, une directrice et une tangente, construire l’hyperbole.
IV. Connaissant un point, une asymptote et les longueurs des axes, construire l’hyperbole.
L’hyperbole rapportée à les aaymptotes.
313. Première méthode. — Construisons les’ coordonnées MP, ^ MR d’un point quelconque de la courbe,
et représentons par 0 l’angle des asymptotes. D’après le théorème démontré ci-dessus (312), nous aurons
® OP.PM.sin9 = - .îrt.afi =
xy =
ab
asinO
Pour évaluer sinO en fonction <Jes quantités a et observons que l’axe trànsverse OA est la bigscclrice do l’angle donc
cosjO = j,
et
slnO =
Au moyen de cette valeur, l’équation ci-dessus. se réduit à
xy=-, ou xy =
La quantité constante — ^ — est appelée puissance de l’hyperbole : eu la représentant par on a .rj = ni‘.
45ï GÉOMÉTRIE
