PM = PN = OC = OD

les points M , N appartiendront à la parabole.

En faisant varier le point I, on obtiendra autant de points qu’on voudra.

318. I®. Dans la parabole , les carrés îles ordonnées perpendiculaires h l'axe sont entre eux comme les abscisses correspondantes (215).

a®. Suivant qu’un point est sur la parabole , extérieur à la parabole, ou intérieur à la parabole, la fonction y’’ — %px est nulle, positive ou négative (216).

319. Théorème. — La parabole peut être regardée comme lu limite d'une série d'ellipses ayant même sommet et même foyer.

Considérons une ellipse dans laquelle le sommet A et le foyer F sont fixes, tandis que le centre O s’éloigne indéfiniment avec le second sommet A' et le second foyer F'. Rapportons cette ellipse variable à son grand axe et à la tangente au sommet A : son équation sera

Y = —ri, ïax — x’ .

Si nous représentons par - la distance constante

AF = fl — c=fl — v/a’ —

nous aurons

1 puis y = ap — - y/.

L’équation de l’ellipse devient

Lorsque a croit de plus en plus, cette équation donne, pour une même valeur de x, des valeurs de y * 5/ grandes, qui tendent vers

/ ^ ^ , une limite déterminée par j’ = ipx.

I C’est ce qu’il fallait démontrer.

D Rcmanjue. — La parabole peut

VNl y aussi être considérée comme la limite

^ d'une série d'hyperboles ayant même r. J,, sommet et meme foyer.

Al F P 0

Xhi foyer.

321 . Reprenons l’ellipse considérée tout à l’heure. Soit M un point quelconque de cette courbe. Menons les rayons vecteurs FM , F' M, et prolongeons celui-ci d’une quantité MC = MF. Nous aurons F'C = ao. Si donc, du foyer F' comme centre, avec aa pour rayon, nous décrivons la circonférence CDC', il arrivera que l'ellipse AA' sera le lieu des points également distants du foyer F' et de la circonférence CDC'.

A présent, supposons que le centre O s’éloigne indéfiniment du sommet A : l’ellipse variable tend de plus en plus vers la parabole PAP'. En même temps, la circonférence CDC' tend à se confondre avec sa tangente EDE'. Donc , la parabole PAP' est le lieu des points également dLitants du point F' et de la droite EE'.

322. D’après ce que nous avons vu à propos de la théorie des foyers, il est clair que EE' est la directrice et F' le foyer de cette, parabole. C’est ce que l’on peut encore reconnaître aisément de la manière suivante ;

L’ellipse AA' étant rapportée à son grand axe et à la tangente A^, on a

FM = -{x — a)+a = ~.c — c + a = ^x-\--p=.- l£x-\--p.

A mesure que a augmente, la fraction — tend vers l’unité.

Donc, en appelant S la distance du foyer F de toutes les ellipses, au point M' de la parabole située sur l’ordonnée MP, nous aurons

J = X 4- i B. Le second membre étant une fonction entière et du

premier degré de l’abscisse, F 'est le foyer de la courbe.

En égalant à zéro la fonction x + ^ , nous obtenons , pour

équation de la directrice, x = — i/;. Or, AF = ^/^ : la directrice

est donc, ainsi que nous l’avions trouvé par une autre voie, la droite EE'.

323. Toutes ces propriétés peuvent,' du reste, être obtenues directement. Il suffit, pour. y parvenir, d’appliqjier • à l’équation

— ipx la méthode que nous avons’ employée dans le cas de l’ellipse. ‘ '* "

324. Faisons X = ^ dans l’équation de la, parabole; nous aurons

y=±p, d’où ,.NN' =2/7.

Ainsi , le paramètre de la parabole est égal à la doidde ordonnée passant par le foyer. Dans l’ellipse et dans l’hyperbole, on donne de même le nom de paramètre à la double ordonnée passant par un foyer. Ce paramètre a pour valeur

a "xa

e^est une troisième proportionnelle à l’axe focal et au second axe.

328. Construction de la parabole, à Vaide de la directrice et du foyer. — Si , après avoir abaissé du foyer F l’axe PF perpendiculaire à la directrice DD', on mène MM' parallèle à cette der*

nière droite; puis qu’avec PE pour ouverture de compas, on décrive , du foyer comme centre , deux arcs coupant la parallèle en MM', ces deux points appartiendront à la parabole.

Pour décrire la parabole d’un mouvement continu , on prend un fil IMF de même longueur que le côté IH d’une équerre IHG. On attache l’une des extrémités de ce fil en un point fixe F, et l’autre extrémité au sommet I de l’équerre. Ensuite, on fait mouvoir Féquerre le long d’une règle fixe DD', en ayant soin de tendre le fil contre l’équerre au moyen d’un style, lequel décrit un arc de parabole.

On a, en effet, à chaque instant,

IM + MF = IM + MH, ou MF = MH.

Tangente et normale.

326. L’équation de la tangente en un point {x’ y') sera, par la règle générale, - . . ,

On a d’ailleurs, entre x' et j', la relation

^px\ (2)

laquelle réduit l’équation précédente à

327. La tangente a tous ses points (autres que le point de contact) en dehors de la parabole. — En effet, la combinaison des équations ( 2 ) et ( 3 ) donne

2jj' = — 2/^x, d’où (j' — j)’ = j’— 2/>x, etc.

328. Le coefficient angulaire de la tangente est y,\ donc pour

un point M dont les coordonnées sont positives, cette droite fait, avec l’axe , un angle aigu qui diminue indéfiniment à mesure que le point M s’éloigne du sommet. La tangente tend donc à devenir parallèle h l'axe.

329. Si , dans l’équation de la tangente , on fait j = o , on trouve X = — x'. Ainsi , en prenant AT égale à l’abscisse AP du point de contact M, on aura le pied T de la tangente. En d’autres termes , la sous-tangente TP est double de l'abscisse AP.

330. Problèue. — Mener une tangente ^ par un point ( a , ^ ) non situé sur la courbe.

On a y''^=ipx' et p\tx-\-x').

L’élimination de x' donne

j'* — "x^y' ipoL = O y d’où r' = P ± — a/>a.

Pour que le problème soit possible, où doit avoir c’est-à-dire que le point donné doit être extérieur à la parabole.

331 .- Rencontre d'une droite avec une parabole. — Eliminons x entre les équations j’ = %px, y= mx -|- n; nous aurons

, xp -ipn

La droite sera sécante, tangente ou extérieure suivant que la quantité /> — aw/«sera positive, nulle ou négative. L’équation d’une tangente parallèle à une droite dont le coeOicient est /»,

sera donc y = mx -1- -^*

-xm

332. Équation de la normale. — Le coefficient angulaire de 1^ tangente en un point M {x',y') étant É., celui de la normale sera

— Conséquemment, l’équation de la normale est

Si dans cette équation, on fait j = o, or* trouve x' — X = NP = sous-normale = p.

Ainsi, dans la parabole, la sous-normale est constante et égale à la moitié du paramètre.