De cette valeur de la sous-normale, il résulte que
FN = AP 4- PN - AF = a: ' + i «.
Le rayon vècteur FM a aussi pour expression x' -\-^p ; donc FM = FN.
II sera donc bien facile, au moyen du foyer F, de construire la normale en un point M de la courbe.
334. Le triangle FMN étant isocèle, les angles FMN, FNM sont égaux entre eux. D’ailleurs, si l’on mène MH parallèle à l’axe, on aura
HMN = FNM.
Donc les angles FMN , HMN sont égaux entre eux ^ c’est-à-dire que la normale en un point de la parabole divise en deux parties égales V angle formé par le diamètre et le rayon vecteur menés de ce point,
Cette propriété aurait pu être déduite de la propriété correspondante, soit dans l’ellipse, soit dans l’hyperbole.
333. Construction^ au moyen du foyer, de la tangente à la parabole.
1°. Pour obtenir la tangente en un point M pris sur la courbe, il suffit d’observer que cette droite MT, perpendiculaire à la normale MN, est la bissectrice de l’angle formé par le rayon vecteur MF et par le prolongement MG du diamètre MH. D’après cela, si on prend FR = FM, le point R est le pied de la tangente.
Cette construction résulte aussi de ce que AR = AP.
2°. Supposons qu’il s’agisse de mener une tangente MT par un point extérieur T. Soit MG la perpendiculaire abaissée du point de contact inconnu M sur la directrice DD'. A cause de MF = MG, et . des angles égaux FMT, GMT, la tangente MT sera perpendiculaire au milieu de FG. Ainsi , les obliques FT, GT sont ^ales. Il faudra donc, pour obtenir 1« point G, décrire du point donné T comme centre, avec TF pour rayon, un arc de cercle.
336. i“. Si le point T est extérieur, la distance TS à la directrice sera, ainsi qu’il est' aisé de le reconnaître, moindre que TF. Conséquemment , l’arc décrit du point T comme centre coupera
ANALYTIQUE. 45g
la directrice DD' en deux points G, G', lesquels donneront deux tangentes TM, TM'.
Si le point T est sur la courbe, la circonférence touche la directrice , et l’on n’a qu’une tangente.
3®. Enfin , le point T étant intérieur, la circonférence n’a aucun point de commun avec la directrice , et le problème est impossible.
337. Remarque. — On peut , d’après la construction qui vient d’èlre indiquée , obtenir les tangentes TM, TM' et les points de contact M, M', sans que la parabole soit tracée.
EXERCICES
I. Construire une parabole, connaissant le foyer, une tangente et un point.
II. Lieu des projections d’un point de l’axe d’une parabole, sur les normales à cette courbe.
in. Sur le rayon vecteur FM d’une parabole, et avec la normale MN comme diagonale, on construit un rectangle FMPN. Quel est le lieu décrit par le sommet P (*)?
Équation du lieu : u = — r^- — •
^ a sin’ ^ w
IV. Lieu des milieux des cordes normales à une parabole donnée.
DiamÀtrei.
338. En appliquant la règle générale (178 ) à l’équation y=‘ipx,
on trouve J = ■“ pour le diamètre des cordes représentées par
m.r + a. Ainsi , dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles à Vaxe. C’est ce que Pon savait déjà (180).
Réciproquement, toute parallèle à l’axe est un diamètre.
Car, de = 6, b étant une quantité donnée, on peut toujours conclure m.
339. ParaMe rapportée à un diamètre O x' et à la tangente O y' à Vextrémité de ce diamètre. — Les formules qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un système d’axes obliques,
(*) Ce lieu est une des courbes que l'on désigne, en Physique, sous le nom de caustiques.
sont
X = a-{~x' cos a +^'coâa', y—b-hx’ sina +j'sina'.
Ici, a el b sont les coordonnées d’un
7,pa. De plus, l’angle a est nul, et l’angle a' est déternuné par tanga Noùs aurons donc, à cause de'
JL.
sina'= i—
COSa' =
La
substitution de ces valeurs , dans l’équation = a/?x, donne y'^ = a ^ x' = a(aa +/>).r';
d’où , en posant a + ^ /> = i />',
j” = ip'x'.
Cette équation est de même forme que j’ = a/?x : c’est un résultat que l’on pouvait prévoir, puisque la tangente Oy’ est parallèle aux cordes que le diamètre Ox' divise en deux parties égales.
340. La constante ip' est ce qu’on appelle le paramètre du diamètre auquel la courbe est rapportée. Il est égal h quatre fois la distance du foyer à l’extrémité de ce diamètre. En effet,
OY = a-^lp='Llf.
341 . Les équations/’ = a/^.r, /” = a p'x\ étant de même forme, tous les théorèmes indépendants de l’inclinaison des coordonnées, démontrés à l’aide de la première équation, auront encore lieu pour le nouveau système d’axes. Ainsi ,
i“. Ix;s carrés des ordonnées sont entre eux comme les abscisses correspondantes.
a". Suivant qu’un point est sur la parabole, extérieur h la jm-
ANALYTIQUE. 4<ji
rabole, ou intérieur a Ut parabole, Ui fonction j ‘‘ — -ip'x est nulle, jjositive ou négative (318).
3°. L’équation de la tangente en un point (x', y') sera (326) yj' = p[x-\-x‘).
4®. La sous-tangente 9kt double de l'abscisse du point de contact (329).
5°. Le diamètre mené au point de concours de deux tangentes passe par le milieu de la corde de contact.
