QUADRATURE DES COURRES PLANES
342. Proposons-nous d’évaluer l’espace QMPR compris entre un arc de courbe AB, Taxe des abscisses , une première ordonnée QR et une ordonnée quelconque MP : cette évaluation est ce qu’on appelle la quadrature de la courbe AB.
Soient y=zf[x) l’équation de l’arc AB, OR = fl l’abscisse du point fixe Q, a: et j les coordonnées du point quelconque M. L’aire cherchée A sera évidemment une certaine fonction de x ; je dis que la dérit>ée de cette fonction^ est égale à l'ordonnée y^ En d’autres termes ,
Pour démontrer cette propriété importante, prenons sur l’arc AB un point M' assez voisin du point M, pour que, de M à M', l’ordonnée soit toujours croissante ou toujours-décroissante; menons l’ordonnée M'P' et les parallèles MN, M'N'và l’axe ^es abscisses.
L’inspection de la figure donne • '
MNP' P < MM' P' P < M' NPP' ; ou, en employant les notations habituelles,
yUx < AA < (j+ Aj)Ax;
AA
OU encore
46a GÉOMÉTRIE
AA
Le rapport — a pour limite A'; il est compris entre j et une quantité dont la limite est j ( * ) ; donc
343. Remarque. — Si les axes , au lieu d’ètre rectangulaires , faisaient entre eux un angle ô, on aurait
A' = jsin9.
344. Il résulte , du théorème précédent , que la détermination de l’aire A d’une courbe dont/(x) représente l’ordonnée, repose sur la solution de ce problème : Tramer une fonction qui ait pour dérivée f{x) (**). Dans chaque cas parficulier, la fonction A se présentera sous la forme
, * A =,()) (x) 4- const.
Pour déterminer la constante, on observe que l’aire A s’annule quand l’ordonnée MP se confond avec QR ; donc , finalement ,
345. Applications. — I. Dans le cas de la parabole, — %px ou donc ç(x) = -^ip.x^\ et, en supposant A = o
pour X = O,
Le second membre est la même chose que | \/%px.x= donc
Ainsi , le demi-scgment^parabolique OPM est équivalent aux deux tiers du rectangle consiruit sur Pabscisse et ^ordonnée du point extrême M.
(*) Ce raisonnement ne diffère pas de celui dont on fait usage pour * trouver la limite du rapport de l'arc au sinus.
(**) Nous avons donné, dans l’Algèbre, quelques exemples de ce genre de questions.
La sous-tangentc TP est double de l'abscisse OP ; donc ce rectangle est équivalent au triangle MTP;,et, par suite , le segment parabolique MOM' est équivalent aux deux tiers du triangle MTM' formé par la corde du segment et par les tangentes aux extrémités de cette corde (*). • II. L’hyperbole équilatère , rapportée à ses asymptotes, a pour équation jrj= i,
ou>- = -.
Donc
k — Ix const.
Si l’ordonnée fixe QR a été menée par le sommet, A doit s’annuler pour J? = I ; en sorte que la constante est nulle , et que l’on a simplement
Ainsi , l'espace compris entre l'hyperbole équilatère, son asymptote, l'ordonnée du sommet et une ordonnée quelconque, a pour mesure le logarithme néj}érien de l'abscisse correspondant à cette dernière ordonnée.
C’est pour cette raison que les logarithmes népériens sont désignés, quelquefois, sous le nom de logarithmes hyperboliques.
