ÉQUATIONS DES COURBES DU SECOND ORDRE, EN COORDONNÉES POLAIRES
346. Les coordonnées rectilignes sont celles qui mettent le mieux en évidence les propriétés des lignes du second ordre. Mais , dans quelques parties des Mathématiques appliquées, dans l’Astronomie par exempte , on a besoin de recourir aux coordonnées polaires , parce qu’elles donnent lieu à des calculs plus simples. Nous allons donc rapporter à ce système de coordonnées les diverses courbes du second ordre, en commençant par le cercle.
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Cercle.
3i7. R étant le rayon, soient cl et a les coordonnées polaires du centre , soient u et w les coordonnées d’un point quelconque M de la circonférence. Le triangle MOC donne, immédiatement,
— 2f/ffC0s(w — a), (i)
348. Au lieu de prendre pour axe la droite quelconque Oj:, comptons les amplitudes à partir de la droite OC. Nous aurons, en
changeant w en a
R* =r k’ 4- rf’ — 2 du cos w ; ( 2 )
d’où U = d cos« ± /R’ — d"‘ sin’ w- (3 )
H est facile de vérifier que cette équation représente un cercle.
En effet, menons une droite quelconque OD, faisant avec Ox un angle w, puis abaissons CB perpendiculaire à OD.
n résultera , de cette construction , OB = d cos w , CB = rf sin w. Si maintenant, du point C comme centre, avec R pour rayon , nous décrivons un arc de cercle coupant la droite en M et en M', nous aurons
MB = M'B = v/R’ - cr sin"«,
d’où
OM = f/ cos w 4- v/R’ — (i‘ sin’ w = a , etc. ;
donc le lieu de l’équation {2) est la circonférence CMM'.
349. La discussion complète de cette équation , qui ne jirésente aucune difficulté, comprend trois cas principaux : rf> R, rf = R,
i“. Dans le premier cas , le maximum des valeurs de w est déterminé par sinw = ^’ en faisant varier l’amplitude entre zéro
et ce maximum , on obtient , à chaque fois , deux valeurs positives de H. 11 suffit donc , pour avoir toute la partie de la courbe située au-dessus de l’axe polaire, défaire varier oi entre ces deux
limites. D’ailleurs , comme l’équation ( a) ne change pas quand on
remplace w par — w , OC est un axe de symétrie.
a“. Si = R, l’équation (a) donne w = o et k = arfcosw. La première formule représente le pôle ; mais comme on obtiendra
TT
ce point en faisant " = “ dans la seconde formule , on peut faire abstraction de la première et prendre seulement u — id cos w ,
TT
en faisant varier entre zéro et — Si l’on donnait à &> des valeurs
supérieures à cette dernière limite, le rayon vecteur deviendrait négatif; et, en le portant sur le prolongement de la direction déterminée par w, on obtiendrait des points situés au-dessous de l’axe polaire. Or, ces points sont symétriques de ceux qui répondent aux premières valeurs de l’amplitude.
3“. Enfin, si l’on a rf<R, l’équation (a) a constamment une racine positive et une racine négative. Alors, pour obtenir toute la circonférence, on peut se contenter de prendre la formule
U = (i cos O) 4- v^R’ — rf* sin’ w,
attendu que si l’on fait varier w entre zéro et a n, le second membre reste constamment positif. On peut même, comme dans les deux autres cas , se contenter de faire croître co depuis &> =; o jusqu’à
w = TT.
Ellipie.
350. Prenons pour pôle le foyer de gauche et pour axe polaire le grand axe de la courbe. Nous aurons (225)
FM = U z= a + -x, a
Or, dans le triangle FMP, wcosw = c-\-x; donc , en éliminant x ,
U = a-\ — ( Kcosu — c) ,
d’où
I COS U I cos t>>
Mais — est le demi-paramètre et - = c. L’équation cherchée est donc
I — e cosw
Parabole. ■
