A cause de
FM = « = x + i^ et de x = -t- k costo,
Cette équation a la même forme que celle de l’ellipse : seulement e = i.
Si w = O , K = 00 ; ainsi la courbe a une branche infinie parallèle à l’axe. Mais elle n’a
■ P sin U P cos ï w
« sm » = — = >
I — cosw smiw
et cette dernière quantité est infinie pour w = o.
Hyparbole.
352. Prenons pour pôle le foyer de droite. La formule qui • donne la distance d’un point M
de la branche de droite à ce foyer est (282)
a = - X — fl.
J^our le point M' de la branche de gauche , on a
De plus, les deux triangles rectangles FMP, FM' P' donnent X = c 4- M cos w , II' cos w' = c — x'.
La substitution des valeurs de x et de x' donne ensuite
K = - (c + /< cosw') + a,
fl \ / 7
u' = — “(c + w'cosw') + «;
d’où , en posant — = p, - = e , a ‘ a
I — e cos w '
1 + c cos w
La première équation représente la branche de droite , l’autre la branche de gauche. Voyons 'entre quelles limites on doit faire varier w et w'.
Menons, par le foyer F, les parallèles FG, FH aux asymptotes.
Soit 6 l’angle aigu formé par FG avec Fx, ou la moitié de l’angle des asymptotes. Alors, pour obtenir des points situés sur la première branche, nous devrons,’ dans la formule (i), faire varier w entre 9 et 2 tt — G; et, pour avoir la seconde branche, nous devrons , dans la formule ( 2 ) , donner à w' des valeurs comprises entre tt — 9 et tt + 0. Cette conclusion résulte de ce que le rayon vecteur FM, mené à un point de la branche de droite, tombe soit dans l’angle GF x, soit dans l’angle HF x; tandis que le rayon vecteur FM', mené à un point de la branche» de gauche, se trouve compris dans l’angle G' FH'.
Elle résulte aussi de l’inspection même des formules (1) et (2). En effet, à-cause de c> a, l’excSntricité e est plus grande que l’unité, .donc l’équation (i) donncfa pôur u de's valeurs positives.
seulement quand on supposera cos
et > — I, c’est-à-dire
quand l’amplitude w sera comprise entre G et 2t — 0, etc.
353. Nous voyons que chacune des équations (i) et (a), si l’on rejette les valeurs négatives du rayon vecteur, représente une seule branche de l’hyperbole. Mais rien n’empéche d’admettre les rayons vécteurs négatifs , pourvu que l’on convienne, comme nous l’avons déjà dit , de porter la valeur négative trouvée
pour un m)vn vecteur, sftr te prolongement de la direction déterminée par ramplitiule correxpondante. Au moyen de cette convention, l’hyperbole loul entière pourra être représentée par l’une ou par l’autre des formules ci-dessus, par la première par exemple.
En effet, supposons que dans cette formule (i) nous donnions à
w une valeur a moindre que 0, nous obtiendrons u — ,
I — ecosa
valeur négative.
Mais si nous prenons, dans la formule (2), &>'= ^ + «, il nous viendra
1 + eCOS(7r a) I — ccosa
Le point N, déterminé par cette valeur positive de m, aurait donc pu être obtenu par l’application de la formule (i).
En résumé, l’équation de l’hyperbole rapportée à l’axe transverse et au foyer de droite , est * '
I — CCOSw ^
354. Si on applique à cette équation la règle rel^ive asymptotes , on trouve d’abord , en posant w = » , -
1 a cos a = - = - »
En second lieu , la distance du pôle à l’asymptote est donnée par la formule d = ^ (^73); donc - y
5 donc enfin d ï= bj ce qui est .
l’ellipse ou dans l’hyperbole, la somme un foyer, parallèlement à deux diamètres conjugués, est constante.
II. Théorème. — Si , par un foyer, on mène n droites , parta-
esina
géant tout le plan en n angles égaux entre eux , la somme des inverses des rayons vecteurs déterminés par ces droites est une constante.
in. Déterminer une courbe du second ordre, connaissant un foyer et trois points. [Pivblèmc de Hallcjr.)
IV. Démontrer la solution suivante du problème de Halley, solution due à Nicollic:
Du foyer donné F, comme centre, avec un rayon arbitraire, on décrit une circonférence qui coupe en fl, fl* les rayons vecteurs donnés FA, FA', FA". Sur les cordes aa\ a' fl", fl*fl, on prend trois points B", B, B', tels que 1 on ait
rtB" FA' rt'B ^ ff"B' ^ FA fl"B~FA'’ «B' FA"
Des points B", B, B' on abaisse des perpendiculaires respectivement sur AA', A' A", A" A : i° ces droites se coupent en un même
FP
point P ; a"*FP est la direction de l’axe focal ; ^ î 'i” “
le poinrç,ù SÊVencontre , une seconde fois, la circonférence, et • F' étant ^o secgpd foyer, on a
. aP“AF*
