Application. — Soient les deux équations

jd-j- xy — jr’4- aj-4- 10 X — i3 = O. (2) L’élimination de conduit à

Cette valeur, substituée dans l’équation (a), donne

( — i6x -f-17)’— (x-J-a) (x — 5) (Sx’ — i6x + 17)

— (x — 5)’ (x’ — lox + i3) = o; ou, en développant et réduisant,

5x*— 5ix*-|- iSSx*— a73x -+- 134 = o.

On tire, de cette équation,

d’où

Par conséquent, les coniques données se coupent seulement en deux points.

377. Au lieu d’appliquer la méthode précédente , on peut se proposer de trouver les équations des conles communes aux courbes données.

Pour résoudre cette question , remarquons d’abord que si l’on ajoute membre à membre les équations proposées, après avoir multiplié l’une d’elles par un facteur arbitraire ï, on obtient une équation de la forme

AV-l-B'x7-|-C'x’-|-D'.r+E'x-|-F'=o, (C)

qui représente toutes les coniques passant par les jjoints communs aux deux coniques données.

En effet, toutes les solutions communes aux équations (A) et

(B) vérifient l’équation (G); et, de plus, on peut déterminer À de manière que la conique (C) passe par un point pris arbitrairement dans son plan.

378. Cela posé , si nous voulons que cette conique auxiliaire (C) se réduise au système de deux droites, nous devrons (121) prendre pour A une racine réelle de l’équation

Cette équation étant du troisième degré , a au moins une racine réelle; donc la transformation proposée est toujours possible (**).

379. Remarques. — I. Le terme indépendant de ). a pour valeur

(B’ - 4 AC) F -h AE’ + CD’ - BDE = m.

Si /« = O, l’une des racines de l’équation (D) est zéro, et la conique (C) se réduit à (A). Ce résultat pouvait être prévu; car la condition m = o exprime que l’équation (A) représente deux droites ou un point.

II. Semblablement, si le coefficient de est nul, l’équation (D) a une racine infinie; et la conique (C) devient la seconde des deux courbes données.

lU. Quand les coniques (A) et (B) se coupent en quatre points, l’équation (D) a ses trois racines réelles. En effet, les côtés et les

(*) Quand on voudra Taire une application, on devra se rappeler que A'=A-(->la, B'=B-+-A6,...,

(**) Cependant, si une valeur réelle de A rend négative la quantité B” — 4 A'C', l'équation (C), au lieu de représenter deux droites, représentera un point. Par exemple, l'équation

( ar -+- X H- (r — 3 X — i)* = O ,

qui représente un point, pouvant être obtenue en ajoutant membre à membre les deux équations

4r* — xr-i-9x’-(-r-+-4^-l-‘ = o>

y' — xy-t- =

si l’on applique à ces deux-ci la méthode précédente, on trouvera, comme racine de l’équation (D), A = t, valeur au moyen de laquelle on retombera sur l’équation proposée.

diagonales du quadrilatère qui a pour sommets les quatre points, forment Uvis couples de cordes communes aux deux coniques.

IV. La réciproque de cette dernière proposition peut être fausse.

380. Quand l’équation (G) représente deux droites, on peut (124) la mettre sous la forme

Par suite , les deux droites sont représentées par la double équation du premier degré

= x(B'’- 4A'G')+ B'D'- aA'E'. ) ^

Il ne restera donc plus, pour déterminer les points communs aux deux coniques données, qu’à résoudre les équations (A), (E), ou les équations (B), (E).

Applioationt.