Exemple III. (7^ — x’)^— 9x(x — i)^ = o. (i

Aspect général du lieu. — La courbe, évidemment symétrique par rapport à l’axe des x, se compose : 1° d’un arc ouvert ABA'; 2“ de deux branches infinies AC , A'C' situées du côté des abscisses positives; 3" d’une double branche infinie DOD', située du côté des abscisses négatives et passant par l’origine. Les points A , A', d’où partent les branches AC , A'C', ont pour coordonnées x= — i, 7= ± >•

(*) Le rebroussement est de seconde espèce quand les deux branches sont situées d'un même côté de leur tangente commune. La courbe représentée par jr = X x' ± x'^ \fr offre un exemple de celle parlicularité remarquable.

L’abscisee du sommet B est égale à la racine positive de l’équation

Cette racine a pour valeur

Entre l’axe des ordonnées et sa parallèle AA', il n’y a aucun pofnt du lieu.

397. Asymptotes. — La règle générale (163) donne, pour équation de ces droites,

Si la courbe coupe ses asymptotes, les points d’intersection seront donnés par l’équalion

Réduisant, on trouve

d ou X = — ' :

savoir .r= 1,2426 et x = 1,9955.

Ainsi, la branche AC coupe deux fois son asymptote.

398. Construction par points. — Afin de mieux juger de la forme des branches infinies, et de leur situation à l’égard des asymptotes , donnons à x un certain nombre de valeurs entières , et calculons les valeurs correspondantes de j et de y^. Nous pourrons former le tableau suivant :

— i7,iao2

— iSjiigS*

— o,oo55

— o,oo65

— ■ ii,ii7i

— 9,ia5

o,oi38

— 5,io34

o,oo65

o,oo4g

o,oo3g

D’après ce tableau ; i® la demi-branche OD' est située au-dessus de l’asymptote E'F, dont elle se rapproche constamment; a® la demi-branche AKLC , d’abord située aurdessus de son asymptote , passe au-dessous de cette droite , s’en éloigne un peu , après quoi elle s’en rapproche indéfiniment. Le point d’intersection K, ainsi qu’on l’a vu tout à l’heure, a pour abscisse i,9g55.

399. Points de rebroussement. — Si dans l’équation (i), on fait J = X, on obtient Æ(-r — i)’ = o. Cette équation ayant trois racines égales à 1 , la droite OA est tangente à l’arc AC et à l’arc AB. Par conséquent, le point A présente un rebroussement de première espèce ( * ). Le point A' jouit évidemment de la même propriété.