IV. Simplifier la quantité
y rt* + y a- /P 4- y //
v' ^ «■’/> — ^ ab^ — ^ b'
V. Dans quel cas l’expression V A + \'B est-elle réductible a la forme
46 ALGÈBKE.
IicjM)iL\c : l,ors(iiie A’ — B est iin cube l?, et qu'en môme temps l’équation
a une racine commensurable i VI. Vérilier la relation
dans laquelle on suppose x ^ i.
VII. Connaissant A, = 2\/2, A, = 2’ V'i — v^vs, calculer A,, A^,
Aj, . . . au moyen de la formule
a„,-pa„,
A,= 2’ y/2 — -f- v/2, Aj = 2* \/2 — ^-1 4- V^2 + V'^,-
Exposant» négatifs, fractionnaires, etc.
81. Exjmsant zèr-o. — D’après la règle de la divjsion des monômes (1), le quotient de par d" serait r/"'*'" ou d. Si l’on part de la définition arithmétique des exposants, on ne peut attacher aucun sens à cette expression d. Mais comme, d’un autre
cote, "jp,— ï) on peut convenir que représcntcni l’ uni té. C/ïttc
convention permet do consener, jus(ju’à la fin d’un calcul, la trace d'une lettre qui aurait disparu par les réductions.
82. Exposants négatifs. — Si l'on avait à diviser té" par r/"' '', 1a règle ordinaire (1) donnerait, pour expression du quotient,
ou cr''. Ce qui vient d’èire dit do l’exposant zéro s’ap-
(*) Voir le chapitre XVI.
(**) Les (|uaii(itcs A,, A,, A, représcntenl les aires des polygones
réguliers «le 4,8, i(i, . . côtés, inscrils au cercle ilc rayon i. (Théorèmes et prohlèrni's de Géométrie , liage 700. )
pliqiio, à plus lorlo raison , à V exposant nef^atij ( — p) '■ jniori,
il n’a pas do signification. Mais — — = • Donc nous iioin ons
admettre que or'' représentera —•
83. Exposants frnrtionnaircs. — Le calcul des radicaux conduit à cette nouvelle espèce d’exposants, absolument comme la division des monômes a donné naissance à l’exposant zéro et aux exposants négatifs. En effet, lorsque p = /«y, on a (G9)
= rt’ = a"'.
Si l’exposant p de la quantité placée sous le radical n’est pas
divisible par l’indice m du radical, l’expression (é" n’a plus de signilication : on peutdonc convenir qu’elle continuera de représenter
s'a’’, ou que les deux expressions (P‘ g^^t équivalentes.
8i. Exposants inconunensvrables, — .4tin d’abréger, nous nous bornerons, quant à présent, à la définition suivante, qui s’accorde avec les considérations générales relatives aux incommensurables (23) : l’expression a^, dans laepielle a est an nombre et X une quantité incommensurable , positii'C ou né^atiee , est la limite des nombres (f , (f\ cd’ , . . . que l’on obtient en remplaçant X par les quantités commensurablcs x,x', x",.,., dont X est la limite. Par exemple, 3 est la limite des quantités
Tl 01,1 qi,*i qi,«l«
J, ^>5 , yJ
c’est-à-dire la limite des nombres
83. Remarque. — Bien que ces derniers nombres ( 3 excepté), soient incommensurables , leur limite 3'^’ est peut-etre commensurable.
Calcul dea exposants.
8G. Les théorèmes principaux sur la multiplioation, la division, la formation des puissances et l’extraction des racines, sont compris dans les quatre formules :
= (r"\ sja’”—a"
48 Ai.(;i;»uK.
•jue nous |>ou\ons regarder comme démontrées dans les cas où ni et m' sont entiers positifs. Nous allons \oir que cette, restriction est inutile.
Remplaçant d’abord , dans les trois premières formules, m et m'
par des fractions.positives on aura, en remontant à ladé-
finition des exposants fractionnai ou négatifs, et en employant les règk's du calcul des radicaux ;
al . rt’’ = . V
ou
Donc
PÇ'+Pf!'
il ?L P j p!
f/'f yV/^'
ni'.'
ni
nnr = V "
an
an
fi’-p’n on
vn'—p'n
O*"'' î-y'/rt'"''
ou =
P n—rn a nn'
, al I
c’est-à-dire — r = «'' ’ ou
£ an'
an' n
Mais cette dernière expression peut être remplacée par
a n! = an n'"'
(*) On prend la première forme ou la seconde, suivant que l’on a
Pn' ~^P' 9 • dans le cas de p<y'= p' q, — ^ = i = a”.
(Jonc, dans tmi!? les cas,
ALGKHKE.
al'
4®. Dans la <iuatrièmc formule, supposons w = ^ , nous aurons
ou
Il resterait à considérer les cas où m et iii' seraient ncgtitifs, entiers o\x fractionnaires, et encore le cas des exposants incommensurables : pour abréger, nous laissons au lecteur le soin de faire celte vérification, qui ne présente aucune difficulté.
87. L’emploi des exposants fractionnaires, négatifs, incommensurables, simplifie ou supprime, pour ainsi dire, le calcul des radicaux , en le remplaçant par un calcul dont les règles sont les mêmes que celles du calcul des exposants entiers positifs.
