NOTIONS SUR LES SÉRIES

Préliminaires .

88. On appelle série une suite indéfinie de termes procédant suivant une loi déterminée, de telle sorte que le mng d’un terme étant donné, on puisse calculer ce terme. Autrement dit, si les termes d’une série sont généralement désignés [lar

Je terme général m, est \me fonction de n.

89. Diverses es])èees rie séries. — Désii^nons par la sniiiiiie des n jm-miers termes d’uuc série; Siivoir :

(Ictto somme, aussi bien que est une fonction de n. Cela posé, trois cas peuvent se présenter ;

i“. Si la somme S„ des n pftîmiers termes terni vers utre limite finie et déterminée, lorsque le nombre n croît indéfiniment, la série est dite convergente.

2". Dans le cas contraire, c’est-à-dire quand la somme des n premiers termes de la série peut croître (en valeur absolue) au delà de toute limite, on dit que la série est divergente.

3®. Enfin , s’il arrive que la somme S„, sans croître au delà de toute limite, n’ait pas de limite déterminée, la série n’est ni convergente ni divergente [*).

D’après ces définitions, une progression par quotient, illimitée et décroissante, est une série convergente ; une pmgression par quotient, illimitée et croissante, est une série divergente ; enfin, la série

dont le terme général est (— i)"*’, n’est ni convergente ni divergente ; car S„ égale o ou i , suivant que n est pair ou impair.

Les séries convergentes sont les seules qu’il soit utile de considérer. En conséquence , nous allons indiquer quelques-uns des caractères au moyen desquels on peut , dans certains cas, reconnaître qu’une série proposée est ou n’est pas convergente.

Théorèmes sur la convergence.

90. TiiÉoiiÈME I. — Dans toute série convr-rgente , le terme général a pour limite zéro.

Considérons une série convergente

et désignons par S la limite vers laquelle tend la somme S„ dos n

(*) La plupart des a’uleurs font rentrer cette troisième espèce de série dans la caté{;orie des séries divergentes. Cette classification nous parait contraire h l’étymologie et à la signification habituelle du mot divergent.

ALliKBHE.

premiers termes; en sorte que

S = limS„. (.)

Changeant n en « — i, nous aurons pareillement

S=limS„,; {-i)

ear S„, , aussi bien que S„ , est la somme nnuihrc (/iictcn/ujue de termes, pris à partir (lu premiei'.

La comparaison des égalités (i) et (2) donne

O = lim S„ - lim S„, == lim (S„ - S„, ) = lim u„ (*).

91. Théorème U. — Dans tonte série convergente, la somme d’an nombre (jnelconque de termes conséculijs a qnntr limite zéro.

En conservant les notations du numéro précédent, et en représentant par la somme des n-\~p premiers termes , nous aurons

S = limS„, S = limS,^^; donc O = lim ( -b ... -I- ).

92. Remarques. — I. L’énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que le nombre p des termes consécutifs considérés est constant : il peut d’ailleurs être aussi grand qu’on le veut.

II. Les deux théorèmes précédents expriment deux conditions auxquelles satisfont toutes les séries convergentes. Conséquemment, toute série qui n’y satisfait pas ne saurait être convergente. Ajoutons que ces deux conditions, nécessaires , sont loin d’ètre suffisantes : on verra tout à l’heure qu’une série dont tous les termes, supposés de même signe, décroissent indéfiniment, peut être divergente.

III. Le second théorème est une conséquence nécessaire du premier ; c;ar si des quantités, en nombre limité, tendent chacune

(') Il est bon do remarquer, à propos de cette proposition fondamentale , que la convprftence ne dépend jamais des premiers termes ; la série

' ~ T ~ m t.i.iJ, “ • • ’

dont les 10 premiers termes augmentent rapidement en valeur absolue, est convergente.

5i ALÜÈBUK.

2><>/-,v zr/v, leur somme a pour limite zi-ro. Il réïiulte de là que si les termes d'une série, eoneerge/Ue ou dieer^ente , ont zé-m pour limite, on peut toujours trouver p termes consécutifs dont la somme soit in férieure à un nombre donné 9.

Fn effet, pour satisfaire à l’inégalité

dans laquelle on s\q>pose

il suffit de prendre w,

= 0 "+' < Tj'

1\’. 11 y a cette différence entre les séries convergentes et les séries divergentes , que , dans toute série convergente, la somme de P termes consécutifs tend vers une limite (jiutnd le nombre p augmente indéfiniment, et que , dans les séries divergentes, cette meme somme mut indéfiniment avec p, <piel (pie soit le rang du premier des termes considérés. Ces deux propriétés, que l’on pourrait regarder comme évidentes, résultent très-simplement des principes ci-dessus. En effet , si la série est convergente , nous aurons , en supposant n constant et p variable ,

d’où

SJ = S

Si, au contraire, la série est divergente, la somme peut dépasser toute limite, et il en est évidemment de même pour

Se la série harmonique.

93. (’elte série a pour termes les inverses des nombres naturels, c’est-à-dire

On lui donne le nom de série harmonupie, parce que trois termes consécutifs quelconques, ou, plus généralement, trois termes équidistants quelcon([ues sont en proportion harmonique (*).

(*} Trois nomhres n, h, c sont en proportion hannnniijue, quand l’excès

ALGEIUU;. 53

Il est Irés-faeile de proiuer que eetle série, dont les termes diniiniient indélinimeni , est divergente. En effet, groujxjiis ces termes, à partir du troisième, de la manière suivante :

nous aurons

c’est-à dire