I .•! .1.. ® — ha

comme le premier est au troisième, c cst-a-dire lorsque

Il est aisé do reconnaître que les fractions

satisfont

il cette relation.

l.a dénomination de proportion barnioniiiue se rattache à un jihcnoinènc d’acoustique : quand on veut faire rendre à une corde les sons composant l’accord parfait majeur, on fait vilircr la corde entière, pui.s

SOS - , puis ses Or = -•

ALGÈClUi.

L'exi)ression ^ pouvant croître au delà do toute limite, il en est

de même , à plus forte raison , pour S„.

9t. La série dont nous nous occupons est excessivement peu divergente; c’est-à-dire que la somme S„ croît très-lentement avec n. Pour le faire voir, groupons ainsi les ■■i” premiers termes :

Il I I I I

nous aurons

ou

iü7 +

et môme , dès que l’exposant / surpasse 2 { * ) ,

Ainsi , la somme des n premiers termes de lu série hurmnnUpie est infé rieure à Vexj>osant de la puissance de 2 égale n n.

Si, par exemple, /■= 12, on aura n = 4<>9d,

et, en môme temps,

de sorte que la somme des 4096 premiers termes est comprise entre 7 et 12 (**).

Suite des théorèmes sur la convergence.

95. Théorème III. — Dans toute série convergente , composée de termes positifs , le pivduit du terme général par le rang de ce terme a pour limite zéro.

(*) A > 2 donne - ^ -t- -r < i .

(*') Par d’autres considerntions , ou trouve = 8,89. . . .

ALGKÜKi:. X

Ji, à partir d’une certaine valeur de //. on avait conslaminent

y. étant une constante positive, on aurait aussi

«,MP

puis

La quantité entre parenthèses est la somme de/-» termes consécutifs de la série harmonique; en jirenant p suflisamment grand, on rendra cette somme, ou son produit [>ar a, plus grand (ju'un nombre donné quelconque. La série considérée serait donc divergente.

96. Théohkme IV. — l hic série composée de ternies positifs est convergente si , à partir d’un certain rang, le rapport iCun terme au terme précédent est constamment in férieur à un nombre donné moindre ijue run{té.

Supposons

y. étant une constante positive, moindre que l'imité. Les inégalités précédentes donnent

Ainsi les termes

yit„

^h+ïi '^n+3T''< "«J, P

sont respectivement moindres que les termes de la progression par quotient décroissante

et comme cette progression, prolongée indéliniment, est une série convergente , il en est de môme , à plus forte raison , pour la série proposée.

97. Remarfjues. — I. Le théorème précédent peut être énoncé ainsi: Une série composée de termes positifs est convergente, site rapport d'un terme au terme précédent a une limite moindre <ptc r unité. .•

5G ALGiiBlU-:.

II. Si le nij>jH>rt (l'an terme nu terme i>rèeètlent , constnmmenl inférieur à f unité , n pour limite V unité , lu série peut être dieerfiente. C’est ce qui a lieu pour la série harmonique.

III. On peut compléter la démonstration du dernier théorème en montrant (|ue lu somme

tend vers une limite , f/unnd le no/nbre p nup^mente indéjînimertt (02, IV). Kn effet, par ce qui précède,

ou

ou

à plus^forto mison,

a II,

La somme S„, qui croît avecy^, étant constamment infé-

rieure à «„ — - — 7 a donc une limite.

08. Tiiéouèjie V. — Si les termes (P une série déeroissent indéfiniment, et qu’ils soient nlternntieement jtositifs et négatifs, lu série est convergente.

Considérons la série

dans laquelle nous supposons

et dans laquelle, en outre,

lim//„ = O.

(*) Si les premiers termes de la série ne salisfaisaicnl pas à ces conditions, on rcprcscnlcrail par le terme à partir duquel, /<r série deve^ nant rr'^itltère, elles sont vériliées. Par exemple, pour la série

lO*'^

-Il tèniit

Si nous continuons h ici>résentcr par S„ la somme dos rt premiers fermes, nous aurons, en supposant n pair, pour fixer les idées ,

(«, - 'G) -4 («3- ".) H-- ••-+-(«„, - ti„)

donc S,> S3> S,>. . .> S,,., ,

et S3<S,<S,<...<S„.

Ainsi , les sommes de rang impair vont on diminuant et les autres vont en augmentant. D’ailleurs la difl'érence S„— S,, = //„ a pour limite zéro; donc ces diverses sommes ont une limite commune S, comprise entre deux sommes consécutives quelconques (23) (*).

99. Théorème VI. — Ixs memes choses étant posées que dans le théorème V, PciTCur z commise en prenant la somme S^ au lieu de sa limite S, est inférieure au terme u^^^ qui suit celui auquel on s'arrête. *

En effet, si n est pair,

s„ < S < s„ , d’où S - S„ < S„^., - S„ ,

ou

(*) Si les termes, alternativement positifs et négatifs, et décroissants, avaient une limite a différente de zéro, la série ne serait ni convergente, ni divergente. En eilét, les sommes S, , S,, S, , . . . , S„, iraient encore en diminuant, et les sommes S,, S,, S,,. . ., S„, reipvclivcmenl inoiiidrvs iiuc les premières, iraient encore en augmentant, en sorte que. les unes et les autres auraient des limites; mais, à cause de

lim u„ = lim ( S„, — S„) = a ,

on aurait

lim S„, — lim S„ = e..

Ainsi, la limite des sommes de >an^ pair serait égale à la limite des sommes lie rang impair, diminuée de a.

ALGEBRE.

et, si n est impair,

ou s <

100. Remarque. — La différence s = S — S„, entre la somme S„ des n premiers termes d’une série convergente et la limite S de cette somme, est ce qu’on appelle le reste do la série. La limite S est quelquefois appelée, par abré\iation, *)/wwcde la série. Dans le cas d’une série non convergente, les expressions somme et reste n’ont aucun sens , et on doit se garder de les employer.

Exemples de séries.