III
(*) Lo premier terme échappe à cette loi.
La limite de la somme des termes de cette progression est l’unité ; donc e < 3.
■i°. Lv nombre c est ineommenstirable . — S’il était égal à une
fraction irréductible - 1 on aurait, en mettant en évidence le terme H
dont le dénominateur se termine par le facteur q :
puis, en multipliant les deux membres par i .2.3. . . 7 :
E et E' désignant des nombres entiers.
Cette dernière égalité est impossible ; car elle donne
(vrïT)- + • • ’
ou
ce qui est absurde.
i03. Calcul de e. Limite de V erreur commise. — La méthode au moyen de laquelle nous venons de prouver l’incommensurabilité du nombre e donne aussi la limite de l’erreur s que l’on commet quand on limite le développement de c à ses n premiers termes. En effet, de
on conclut, par le calcul précédent,
ou
ou encore
En faisant usage de cette formule, et en observant que les termes (le la série se déduisent les uns des autres par des divisions suc-
Th. ALGÈBIU-:.
cessives Irés-simiilos , on pont calculer ra[nilenient , avec une graiifle ai»i>roximalion, la valeur de c. Par exemple, si Ton se borne à 9 décimales , on aura
. lo
Si nous n avions pas négligé les décimales qui devraient suivre la neuvième, nous aurions, d’après la formule précédente,
et, a plus forte raison, s •< 0,000000000.2. Ainsi les neuf décimales obtenues seraient exactes. Pour tenir compte des retenues, calculons une décimale de plus ; en la prenant i>ar défaut , nous
ALGEHUr;. fil
(louons ajuuler, au résultat pr(k:édonl.
6 '4* G 4^ 3 4 8^ !”(} “{ '5 “t~ 7 o o ~4" o4“ ï uiu tes du i u urd ri' dco imal ^
ou O , ooü ooo oo4 7-
En prt'uant par excès la lo” décimale, on aura, pour nouvelle somme ,
0,000 ooooo5 8.
Par suite , la valeur do r est comprise entre
■>.,7187.8189,77 et 2,718781 878 ().
En effet,
104. Les details dans lesquels nous venons d’entrer à propos de rincominensurablc e. sont justifiés par l'importance de ce nombre, (pic l'on rencontre dans une foule de reclierclies ; nous verrons bientfil (pi'il sert de base au système des loi^arithmes uêpcrivns. 10'). Gomme second exemple, nous prendrons la série I > I , 1
dans laquelle
H est évident que limH„= o et que lim //</„= o. Ainsi, la série est peut-être convergente.
Pour reconnaître si elle l’est réellement , cborclions la limite du
rapport — 2--
donc lim — 2- = i.
D’après l’une des remarques du n" 97, on no peut encore rien conclure sur la convergence ou la divergence de la série proposée. Mais, si l’on fait attention que
