ARRANGEMENTS ET COMBINAISONS

]>éfioitions.

107. 1°. On appelle arrangements de n lettres p à p, les mots composés de p lettres prises parmi les n lettres données (*).

D’après cette définition , deux arrangements quelconques diffèrent, soit par les lettres qui y entrent , soit par tordre de ces lettres.

Ainsi les arrangements trois à trois des cinq lettres a, b, c, d, e, sont

abc, bac, bca, bde, eda, dbe....

2°. Les pernwtations de n lettres sont les arrangements formés avec ces lettres prises toutes ensemble {**). Par exemple, les lettres a, b, c donnent les six permutations

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

(*) Cette définition, assez difTérentc des définitions ordinaires, nous a semblé propre à empêcher les élèves de confondre les arrangements et les combinaisons. J1 est peut-être superflu d’ajouter que les assemblages de lettres, auxquels nous donnons le nom de mots, peuvent n’avoir aucune signification ; ils peuvent même 11 'être pas prononçables.

(’*) Les permutations sont donc un cas particulier des arrangements.

f)4 ALüi:iUlK.

3". Enfin, on apiiollc comliinaisons , ttw tu iiiii^ciucuts dont ht composition est di(férente, o’est-à-diiv les airangemenls lois, (ine (leux quelconques (rentre eux (iill'èrent au moins par une lettre.

Les combinaisons des lettres n ^ h. r, d, e, |)riscs ti^oisù trois, sont donc

fihc, nbd, nhc, ncd, me, nde, bal, bce, bde, ale.

108. Ixem/mjites. — 1. L’ordre des lettres, dans une combinaison donnée, est complètement indilTérent; pour plus de simplicité, on choisit ordinairement, comme nous venons de le faire, l’ordre alphabétique.

n. Tant de lettres que l’on voudra, prises toutes ensemble, donnent lieu à une seule combinaison.

III. Pour effectuer les arrangements p à p de n lettres, on peut combiner d’abord ces lettn's p à p, et permuter ensuite les p lettres entrant dans cluujue combinaison. Il est évident, en eflet, que si l’on opère ainsi, il n’y aura ni nnnngement omis, ni arrangement répété.

Les combinaisons écrites ci-dessus donneraient, de cette manière, les Go arrangements trois à trois des ciiu] leltix's a, b, c, d, c ; savoir ;

nhc,

abd.

abc ,

. . ede.

aeb ,

adb ,

aeb,

ced.

bac ,

bad,

bae,

. . dcc ,

bca ,

bda ,

bea.

dee.

cal) ,

liai) ,

eab ,

. . nui .

cba,

dba,

eba,

nl<\

ProbIcni(» principaux.

101). PuüBLEME 1. — Trouver le nombre des arrangements tic n lettres p à p. Soit A„ ^ ce nombre. Pour le déterminer, remarquons (pie si l’on connaissait les arrangements p — ^ à /> — i des n lettres données , arrangements dont le nombre sera désigné par A„ p|, il serait très-facile de former les arrangements des mêmes lettres prises p à p. En effet , à la droite de ehaeun des arrangements eomposés de p — i lettres, inscrivons sueeessivenient chacune des n — [p — i) lettres tpii tér entrent pas; nous obtiendrons, sans omission et sans réj/étitnm , les arrangements cbei '

AI-Gi:iUU’. (K,

chos. D'ailleurs, rluuiuo arrangt'iiiciU do p — i loi très a donné ri — Z-* -H 1 arrangomeiUs do p loüros ; dono

Cotte relation générale donne, par le cliangeniont do p on /^ — C/^ 3, O. :

IVaillenrs, A„ ,, ou le nombre des arrangements de n lettres ]>rises I à J, est évidemment ii. Par suite.

Telle est la formule cliorohée, Plie exjtrime que /o nombre des arrnngcments de n lettres p h p, est égal au produit de ]> nombres entier^, consécutifs et décroissants , dont le premier est n.

HO. Problème II. — Trouver le nombre P„ des permutations de. n lettres.

Si, dans la formvde (A ), on suppose p — n, ou trouve

ou P,, = I .'2.3. . . t ü )

-\insi, le nombre des permutations de n lettres est égal au produit des n premiers nombres naturels.

TH. Problème 111. — Trouver le nombre des combinaisons de n lettres, p à p. D’après la remarque III (H>8), chacune de cos combinaisons donne autant d’arrangements que l’indique le nombre Pp des permutations de p lettres; donc le nombre ^ des arrangements rie n lettres p à p, est égal, au nombre ^ des combi-

naisons de ces n lettres , multiplié jmr le nombre P^ des permutations de p lettres ; donc aussi

Hi. Ta formule ; C. i peut être écrite do dilféronb'S manières. D'abord, si l'oi\ remplace le iiumoratour et le dénominateur par

leurs valeurs tirées des formules (A) el (B), on aura

ou, en observant que les deux termes contiennent le même nombre de facteurs ,

it,p

Ainsi , te nombre des combinaisons de n lettres , php, est égal

r n n — i n — a n — !> -‘rt

an p/ndiat des p tractions - 1 ? — - — , • • • r •

Enfin , si l’on multiplie les deux termes de la fraction (D) par 1 .2.3. . .(« — p), on obtient

113. Remarepuis. — I. Les combinaisons de n lettres sont nécessairement en nombre entier; donc la fraction (D) doit être réductible à un nombre entier, ou, ce qui est équivalent,

Le produit de p nombres entiers consécutifs est divisible par le produit des p premiers nombres naturels (* ).

II. Le second membre de la formule (F) ne change pas quand on y remplace p par n — p\ par conséquent ,

ou , en d’autres termes ,

Le nombre des combinaisons de n lettres , prises p h p, est égal au nombre des combinaisons de ces lettres prises n — p à n-p{**).

114. Applications. — I. Combien les lo lettres du mot logarithme, prises i à i, 2 «2, ..., lo à lo, jieuvent-elles former iF arrangements ?

(•) On peut démontrer ce théorème par des considérations purement arithmétiques.

(*’*) Cette propriété est presque évidente, car, a chaijue comhinaisoH renfermant p des n lettres données, correspond une comhinaison formée des n — p autres lettres; donc le nombre des premières combinaisons est épal au nombre des dernières.

vy

ALGÈBKE. G;

La formule (A) donne, successivement :

A,o,, = io, A,„,= 10.9 = 90, A„, = 90.8 = 720,

Ainsi, avec les 10 lettres données, on peut former 10 mois d'une lettre, 90 mots de dcuj: lettres,. . ., 3628 800 mots de dix lettres : en tout, 9864 100 mots. Il est évident que ces nombres seraient considérablement réduits si l’on rejetait, par exemple, tous les mots renfermant /roix consonnes consécutives (*), tous ceux qui ne contiennent pas do voyelles^ etc.

II. De combien de manières 12 personnes peuvent-elles se placer autour d'une table de 12 couverts?

Ce nombre est

III. De combien de manières peut-on choisir 5 cartes dans un jeu de piquet ?

L’ordre dans lequel les 5 cartes choisies ou tirées étant indifférent, le nombre cherché est celui des combinaisons de 32 lettres 5 à 5, c’est-à-dire

Permutations avec répétition.

H 5. Dans ce qui précède, les lettres arrangées ou combinées étaient essentiellement diiférentes. Quand cette condition est supprimée, on a des arrangements ou des combinaisons avec répétition. Par exemple , on peut se proposer la question suivante :

Quel est le nombre N des permutations de n lettres, parmi Ics-

(*) Ordinairement, ces mots ne sont p.is prononçables: le mot logarithme fait exception.

(*’*) Si les 12 personnes effectuaient une permutation par minute, et si elles consacraient à ce travail 12 heures par jour et 3fio jours par anpée, il leur faudrait 184'^^ ans pour venir à bout de leur lâche!

68 ALGKHUI..

f/uellcx SC trnin'cnt ol fois fa lettre a , h Jais fa lettre h, . . Ofois fa lettre t?

l’our effectuer ces permutations, il suflirail de faire occuper, par les n lettres, n places données. T)e ces n places, a peuvent être occupées par les « lettres r/, d’autant de manières que l’indi([ue le nombre des combinaisons de n lettres a à st. De môme, ^ des // — a places restantes, penvent être remplies par les |i lettres /», d’un nombre de manières égal à ^3, etc.

Enfin , quand toutes les lettres autres que t auront été employées, il restera 0 places, dont la répartition entre les 0 lettres t se fera d’une seule manière, ou d'un nombre de manières égal à Cÿ^ g. Par suite.

ou

^ K • — V., Il — a — s, 6, 0 >

116. Remarques. — 1. La formule (11) est la généralisation de

la formule (F). Elle montre ipic si un nombre entier n est c^al à la somme des nombres entiers a , fi , , . . . , 0 , le produit

1 . 'jt . 3. . . w est divisible par le produit i . 2. . . a . i . 2 . . . . . . i . a . . . 0.

117. Application . — De combien de manières peut-on permuter les 9.1 lettres du mot constitutionnellement ?

(le mot contient -i fois la lettre 4 fois la lettre «, etc.; donc

ou

N = 142 146718 5()Oooo (*).

Triangle arithmétique.

1 18. La formule

yj 4- )

Duaiul une pcrin\itiilioii otïrc un siuis, cite |>rend le nom iVunai^rnmmc. (Quelques iuiagraiumcs sont nlolii-es : dans frire Jiicijucs Clémeiil, on trouva : eV.o l'rnfn tjui ni'n ace.

ALGi: UIU-.

l>ciil être écrite ainsi :

Mais,

donc

c c . 'LtJJjïlL = ’1±1 c i: .

ou, en remplaçant // par « — i,

Ainsi , à' nombre des combinaisons de n lettres, p à p, est éf^nl à la somme du nombre des combinaisons de n — i lettres, p — i à P — 1, et du nombre des combinaisons de n — i lettres, ]) h p.

Ce théorème, cpii permet évidemment d’obtenir les nombres de combinaisons, par des additions successives, parait en défaut dans le cas de p — \. Mais comme la relation C„ vient, si l’on suppose p = o, C,, „= C„ „= i, on peut co/ieenir ipie l'expression C„„ é^alc l'unité.

Cela posé , si l’on [lart de C, „ -- i et de C,, — i , et que l’on applique la formtde (1), on formera le tableau suivant , connu sous le nom de Trianp;le arithmétirpie de Pa>!cal. Dans ce tableau, le p'“'“ terme d'une ligne horizontale de rang //, égal à C„ s'obtient en ajoutant le terme de meme ran^ dans la ligne précédente avec le terme ipii précède celui-ci.

1 4 6 4 1 1 5 lo lo 5 I

I 6 1 5 ‘io 1 5 G I

1 7 il 35 35 zi 7 i

ill). Hemanpies. — D’après la manière dont le triangle arithmétique est formé :

i". Dans une ligne horizontale quelcomjue, les termes à égale distance des extrêmes sont égaux ; et , consécpiemment , la somme des lerni(‘S de rang pair est égale à la somme des t(>rmes ih' rang impair;

a". Chacune de ces sommes égale la somme des termes contenus dans la colonne précédente ;

3®. La somme des terçies de la colonne est a".

4°. Le p'^ terme rie la colonne est égal à la somme des termes de rang p — i dans tontes les colonnes précédentes ;

5®. D’après cela , la somme des nombres de combinaisons p à p de P lettres, de p-\- y lettres,. . de n lettres, égale le nombre des combinaisons de « -+- i lettres, p -\- \ h p -\-\ (*).

Par exemple ,

= C,,j 4- C, 3 -t- Cj J -4- Cj 3 -t- 3 + Cj 3 ,

ou ia6 = 56 -I- 35 4- ao -I- 10 -4- 4 -I- I.

EXERCICES

l. Quelle serait la hauteur occupée par le papier nécessaire pour écrire toutes les permutations des lettres composant ce vers :

Qui n’a pas ce qu’il veut, doit vouloir ce qu’il a?

L’épaisseur des rames empilées les unes sur les autres est de 5 centimètres ; chaque rame contient 600 feuilles ; chaque feuille 4 pages ; chaque page, 45 lignes ; et chaque ligne, deux permutations.

Réponse: 10 549548 739409 3i5 3o3 1 16 800 mètres (**).

II. Combien y a-t-il de parties de domino essentiellement différentes? Le jeu se compose de a8 dés, et chacun des deux joueurs en prend 7.

Réponse : 187 680 1 7 1 aoo.

m. Combien y ^i-t-il de parties d’écarté essentiellement différentes?

Réponse : 354 883 858 56o.

(*) Nous laissons au lecteur le soin de démontrer ces propriétés intéressantes.

{’**) Ltt colonne de papier irait 68g3o 120 1^33 a.'io fois aussi loin que le so Icil!

IV. Combien y a-t-il de mots formés de trois voyelles et de six consonnes'?

Réponse : 98 456 6ui 600.

V. Les deux faces d’un jeton de forme hexagonale sont partagées chacune, par trois diamètres, en six triangles équilatéraux égaux entre eux. On applique, sur chaque triangle, une des sept couleurs primitives, de manière que deux triangles appartenant à la même face ne soient pas de la même couleur. Combien pourrat-on former de jetons essentiellement inégaux satisfaisant à ces conditions?

Réponse : 2116 800.

VI. De combien de manière peut-on appliquer quatre des sept couleurs primitives sur les quatre faces d’un tétraèdre régulier?

Réponse : 70.

VII. Ayant pris sur un plan n points «, r,..., tels, que trois

d’entre eux ne soient pas en ligne droite, on les joint deux à deux par des droites ac, 6c,. . ., qui se coupent en de nouveaux points A, B, C, Quel est le nombre N de ces points?

Réponse : N = — i) [n — 2) (« — 3).