FORMULE DU BINOME

d20. Pour trouver la formule qui donne le développement de la puissance m'““ d’un binôme x -4- a, m étant supposé entier et positif, cherchons d’abord à ordonner, suivant les puissances descendantes de le produit P des m binômes

j: -f- fl, X -f- 6, X -f- c, . . . , X -1- X-, X -\-l.

A cet effet, observons que si l’on multipliait x -{- « par x -\-b, puis le produit par x + c, etc., et qu’on ne fù aucune réduction, un ternie quelconque de P serait égal au produit de m fiicteurs, pris respectivement dans les m binômes donnés. ' Conséquemment :

1°. Le premier terme de P est x"*;

2°. Pour obtenir un terme contenant x-"'"’, on doit, dans ni — i

7'2 ALGi'HUH.

(les i>itiùinos, pivniirc le premier lerme.r'; et, dans le binôme resUinl, prendre le second ternie : le coellicieiU de .r'"*' sera donc la somme S, des- seconds termes des binômes;

3". Pour olitenir im terme contenant on doit , dans n/ — 2 des binômes, prendre le premier terme .r; et, dans les deux binômes restants, jircndre le second terme ; le coeflicient de sera donc la somme des produits deux à deux des seconds termes des binômes; etc.

li**. lin général , /c cnrj/irirnt de .v'"'*' est é^(d h hi soimiie des pnidiiits p à ]> des seemtds ternies ;

5”. Enfin, le dernier terme de P égale le produit abc. . .4/ des seconds termes, produit ipie nous représenterons par S„,.

On a donc

(.f -i- rt) {.r -4- 4 ) (.r -h c). . .(.1- + 4) (a- -i- /) |

1^1 . Dans ta formule ( i) , supposons h c — a :

le premier membre deviendra En même temps:

i“. S, = (-/-+- 4 -4- c -H . . .-f- 4 + / se réduit au [u’oduit de a par

le nombre iit des seconds termes : S, = — <7 ;

2". = nb -f- ac -f-. - .-\-bc-\-. . 4/ se réduit au produit de

(d par le nombre des produits deux à deux ou des combinaisons

, , , , , , , ni { l/l — I ) ,

deux a deux des lettres a, 4, c,. . 4, / ; b.^ = — — ’-fd ; etc.

3". En général, se réduit au produit de r/'' par le nombre des pioduits j> à ]> ou des combinaisons ]> à p des lettres a, b, e^. .

4°. Enfin, S„, = a”'.

Par suite :

(.r -4- (/)•” = y + ja.1-”-' 4- ... 4- + . .,+ eT. (2)

Telle est la /w/v//«/c du binôme, due à Newton.

122. Benni/ffics. — I. Le développement de (à'-f-rr)"* est homogène et du degré m : ce résultat est dû à ce que le binôme (a- -H Cl) est homogène (*).

(*1 11 n'y a pas lieu d’.ajoiitor, comme on le fuit (piclquefois, que les